Cho a ko chia hết cho 2 và 3. Chứng minh: A= 4a2 + 3a +5 chia hết cho 6
Chào mọi người, mình đang cảm thấy khá bối rối. Bạn nào đó có kinh nghiệm có thể giúp mình giải quyết vấn đề này không?

Để chứng minh rằng A= 4a^2 + 3a + 5 chia hết cho 6 khi a không chia hết cho 2 và 3, ta thực hiện bằng phương pháp suy luận như sau:

Ta biểu diễn A dưới dạng A = 4a^2 + 3a + 5 = 4(a^2 + \dfrac{3}{4}a) + 5.

Lưu ý rằng a không chia hết cho 2 và 3, nên ta có thể suy ra rằng 3a chia dư cho 2, hoặc a chia dư cho 2, hoặc cả hai đều đúng.

- Trường hợp 1: Nếu a chia dư cho 2, ta có a = 2k + 1 (với k là số nguyên).

Khi đó, a^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k +1 và \dfrac{3}{4}a = \dfrac{3}{4}(2k + 1) = \dfrac{3}{2}k + \dfrac{3}{4}.

Thay vào A ta được A = 4(4k^2 + 4k + 1) + \dfrac{3}{2}k + \dfrac{3}{4} + 5 = 16k^2 + 16k + 4 + \dfrac{3}{2}k + \dfrac{3}{4} + 5 = 16k^2 + \dfrac{35}{2}k + 9, ta thấy A không chia hết cho 6.

- Trường hợp 2: Nếu 3a chia dư cho 2, ta có 3a = 2m + 1 (với m là số nguyên).

Khi đó, a = \dfrac{2m + 1}{3}, a không phải số nguyên.

Vì a không phải số nguyên nên ta loại trường hợp này.

- Trường hợp 3: Nếu cả a và 3a đều chia dư cho 2.

Khi đó, ta có a chia dư cho 2 (tương ứng với trường hợp 1) và 3a chia dư cho 2 (tương ứng với trường hợp 2), dẫn đến a không phải số nguyên.

Vậy ta chỉ cần xét trường hợp 1 đã thấy rằng A không chia hết cho 6 khi a không chia hết cho 2 và 3, do đó, câu đề bài không đúng.

Do a không chia hết cho 2 và 3 nên a có dạng a = 6k + 1 hoặc a = 6k - 1. Thay vào A ta có thể chứng minh A chia hết cho 6.

Thay a = 2k + 1 vào A ta được A = 4(2k + 1)^2 + 3(2k + 1) + 5 = 24k^2 + 28k + 12 chia hết cho 6.

Ta có thể chứng minh bằng cách chia đa thức A cho số 6 và kiểm tra xem phần dư có bằng 0 hay không.