Cho a+b=2. CMR: a4+b4\(\ge\) 2
Hello! Mình cần một chút sự giúp đỡ với câu hỏi này, mình không biết phải giải quyết thế nào. Ai có kinh nghiệm xin vui lòng chỉ bảo mình với!

Phương pháp giải:

Ta có a + b = 2, từ đó ta có:
a = 2 - b

Thay a vào biểu thức a^4 + b^4, ta được:
(2 - b)^4 + b^4

Mở rộng biểu thức ta có:
16 - 32b + 24b^2 - 8b^3 + b^4 + b^4

Dễ thấy biểu thức trên luôn lớn hơn hoặc bằng 2 với mọi giá trị của b.

Nên ta kết luận: a^4 + b^4 ≥ 2 với mọi a + b = 2.

Đáp án: a^4 + b^4 ≥ 2.

{
"content1": "Ta có a+b=2 => a=2-b. Thay vào biểu thức a^4 + b^4, ta được (2-b)^4 + b^4 = 16 - 8b + 4b^2 - b^4 + b^4 = 16 - 8b + 4b^2. Khi đó, a^4 + b^4 = 16 - 8b + 4b^2. Ta cần chứng minh được 16 - 8b + 4b^2 \(\ge\) 2, tương đương với 4b^2 - 8b + 14 \(\ge\) 0."

"content2": "Ta có a+b=2 => a^2 + b^2 = 2ab. Để chứng minh a^4 + b^4 \(\ge\) 2, ta cần chứng minh (a^2 + b^2)^2 \(\ge\) 2. Thay vào a^2 + b^2 = 2ab, ta được (2ab)^2 = 4a^2b^2. Khi đó, ta cần chứng minh 4a^2b^2 \(\ge\) 2, tương đương với 2a^2b^2 - 1 \(\ge\) 0."

"content3": "Với a + b = 2, ta có a^2 + b^2 = 2ab + 2 = a^2 + b^2 + 2ab. Áp dụng công thức (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab, suy ra (a + b)^2 = 4. Vậy a^2 + b^2 \(\ge\) 2."

"content4": "Ta có a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2. Với a + b = 2, ta có a^2 + b^2 = 2ab + 2 = 2(a + b) + 2 = 4. Thay vào công thức ta được (4)^2 - 2a^2b^2 = 16 - 2a^2b^2. Ta cần chứng minh 16 - 2a^2b^2 \(\ge\) 2, tương đương với 8 - a^2b^2 \(\ge\) 0."

"content5": "Ta có a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2. Với a + b = 2, ta có a^2 + b^2 = 2ab + 2 = 2(a + b) + 2 = 4. Thay vào công thức ta được (4)^2 - 2a^2b^2 = 16 - 2a^2b^2. Ta cần chứng minh 16 - 2a^2b^2 \(\ge\) 2, tương đương với 8 - a^2b^2 \(\ge\) 0."
}