Cho a=5^50-5^48+5^46+5^44+..+5^6-5^4+5^2-1 a,Tính A b,Tìm số tự nhiên n biết: 26.A+1=5^n c,Tìm số dư trong phép chia A cho 100.
Xin chào mọi người, mình đang bí câu trả lời cho một vấn đề khó nhằn này. Bạn nào có thể giúp mình với được không?

Để giải bài toán trên, ta thấy rằng chuỗi các số 5 mũ chẵn đều có dạng 5^(2n) với n chạy từ 1 đến 25 và chuỗi các số -5 mũ lẻ cũng có dạng -5^(2n-1) với n chạy từ 1 đến 25.

a, Dễ dàng tính được giá trị của A bằng cách phân biệt giữa các số mũ chẵn và số mũ lẻ trong công thức đã cho.

Ta có: a = 5^50 - 5^48 + 5^46 - 5^44 + ... - 5^4 + 5^2 - 1
= 5^2(5^48 - 5^46 + 5^44 - 5^42 + ... - 5^2 + 1) - 1
= 5^2(5^2 - 1)^25 - 1
= (26^25 - 1) - 1
= 26^25 - 2

b, Tìm số n thỏa mãn: 26.A + 1 = 5^n
Tương đương với 26*(26^25-2) + 1 = 5^n
Đồng thời ta có n = 26^25 - 1

c, Tìm số dư trong phép chia A cho 100
Nhìn chung với các số mũ lớn như vậy, ta chỉ cần xem xét 2 chữ số cuối cùng của số mũ đó, tại đây là 26^25.
Với số mũ 26, chữ số cuối cùng sẽ luôn là 76, nên chữ số cuối cùng của 26^25 cũng sẽ là 76
Vậy số dư của A khi chia cho 100 là 76.

Sử dụng phương pháp khác: Để tìm số dư của A khi chia cho 100, ta thực hiện phép chia từng phần tử tổng lớn nhất cho 100. Ví dụ: 5^50 = 3 mod 100, 5^48 = 1 mod 100, 5^46 = 25 mod 100,... từ đó tìm ra số dư của từng thành phần sau đó cộng lại. Ví dụ: 3+1+25+69+87+...-5+1-1 = 64 mod 100.

Sử dụng phương pháp khác: a = 5^50-5^48+5^46+5^44+..+5^6-5^4+5^2-1 = (5^50+5^46+...+5^6+5^2)-(5^48+5^44+...+5^4+1). Từ đó, ta nhận thấy mỗi cặp số trong dấu ngoặc đều tạo thành một dãy xấp xỉ công bội của một số nhất định. Vậy a = 2*(5^52-1)/(5^2-1)-5*(5^50-1)/(5^2-1) = 2*(5^2+1)(5^4+1)(...)(5^50+1)/(5+1)-5*(5^2+1)(5^4+1)(...)(5^48+1)/(5+1) = 2*(126*626*...*3,125)(5^50+1)/(5+1)-5*(126*626*...*1,656,126)/(5+1) = (184,615,139,830-10,416,125)/(5+1) = 30,134,992,345/6 = 5,022,498,724.

Để tìm số dư trong phép chia A cho 100, ta thực hiện phép chia A = 4*2^24 cho 100. Ta biết rằng số dư khi chia cho 100 chỉ phụ thuộc vào 2^24 mod 100. Áp dụng Định lý Euler, ta có 2^20 ≡ 1 (mod 100), từ đó ta suy ra 2^24 ≡ 16 (mod 100). Vậy A ≡ 4*16 ≡ 64 (mod 100).

Để giải phương trình 26.A + 1 = 5^n, ta thay a = 4*2^24 vào phương trình, ta được: 26*(4*2^24) + 1 = 5^n <=> 2^25 + 1 = 5^n <=> 5^n - 2^25 = 1. Giải phương trình ta tìm được n = 25.