Cho A = 2 + 2 mũ 2 + 2 mũ 3 + 2 mũ 4 +.....+ 2 mũ 60 . Chứng minh rằng A chia hết cho 3
Chào các pro, hiện mình đang cần support nhanh chóng để giải đáp câu hỏi này. Ai có thể chia sẻ kiến thức của mình không?

Phương pháp giải:

Để chứng minh rằng A chia hết cho 3, ta có thể sử dụng định lý Wilson.

Định lý Wilson nói rằng nếu n là một số nguyên tố > 1 thì (n-1)! + 1 chia hết cho n.

Trong trường hợp này, ta sẽ sử dụng định lý Wilson với n = 3.

Phương trình cần chứng minh là:
A = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ..... + 2^60

Ta thấy rằng A = 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ..... + 2^60

Giờ ta sẽ sử dụng định lý Wilson với n = 3:
(2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ..... + 2^60 - 1)! + 1 chia hết cho 3

Từ định lý Wilson, ta có:
(2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ..... + 2^60 - 1)! + 1 chia hết cho 3

Tuy nhiên, để đảm bảo điều kiện của định lý Wilson, ta phải chứng minh rằng (2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ..... + 2^60 - 1)! + 1 chia hết cho 3.

Để chứng minh điều này, ta chia A cho 3 và kiểm tra dư của phép chia:
A = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ..... + 2^60

Ta thấy rằng 2 chia hết cho 3 dư 2, và 2^n với n ≥ 2 chia hết cho 3 dư 1.

Do đó, A chia hết cho 3 dư 2.

Từ đó, ta có (2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ..... + 2^60 - 1)! + 1 chia hết cho 3.

Vậy, theo định lý Wilson, A chia hết cho 3.

Câu trả lời: A chia hết cho 3.

Cách 2: Sử dụng cách giải bài toán bằng giả thuyết. Giả sử A không chia hết cho 3. Ta có thể viết A = 2(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^59 + 2^60). Vì 2 không chia hết cho 3, nên phần trong ngoặc không chia hết cho 3. Như vậy, A không chia hết cho 3. Đây là mâu thuẫn với giả thiết ban đầu. Vậy, giả thiết ban đầu là sai và A chia hết cho 3.

Cách 1: Sử dụng công thức tổng của dãy số hình học, ta có A = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^60. Đặt r = 2 là công bội của dãy số hình học này. Vì vậy, ta có tổng A = (r^(n+1) - 1) / (r - 1), trong đó n = 60 là số lần cộng dồn các thành phần của dãy số. Thay vào công thức, ta có A = (2^(60+1) - 1) / (2 - 1) = (2^61 - 1).