Cho A= 1 + 11+ 111 + 1111 + ....+ 111111111 +1111111111 ( có 10 số hạng ) .Hỏi A chia cho 9 dư bao nhiêu? 
Chào các Bạn, mình đang gặp một chút vấn đề và thực sự cần sự trợ giúp của mọi người. Bạn nào biết cách giải quyết không, có thể chỉ giúp mình được không?

Để giải bài toán này, ta hay quan sát cách tạo ra các số hạng của dãy A:

1 = 1
11 = 10 + 1
111 = 100 + 10 + 1
1111 = 1000 + 100 + 10 + 1
...

Ta có thể nhận thấy mỗi số hạng trong dãy A đều có dạng \( \underbrace{100...00}_{n} + \underbrace{10...00}_{n-1} + ... + 111 \).

Khi đó, ta có thể viết lại dãy A dưới dạng:
A = 1 + 11 + 111 + ... + 1111111111
= (1 + 10 + 100 + ... + 10^{n-1}) + 1 + (10 + 100 + ... + 10^{n-1}) + ... + 1111111111
= 1 + 10 + 100 + ... + 10^{n-1} + 10 + 100 + ... + 10^{n-1} + ... + 1111111111
= 1 + (10 + 10) + (100 + 100) + ... + 10^{n-1} + ... + 1111111111
= 1 + 20 + 300 + ... + 10^{n-1} + ... + 1111111111
= 1 + 20 + 300 + ... + 10^{n-1} + ... + 1111111111
= 1 + 20(1 + 10 + 100 + ... + 10^{n-2}) + 10^n
= 1 + 20\left(\dfrac{1 - 10^{n-1}}{1-10}\right) + 10^n
= 1 + 20\left(\dfrac{1 - 10^{10}}{1-10}\right) + 10^{10}

Cuối cùng, ta chỉ cần tính \(A \mod 9\) để tìm ra số dư khi A chia cho 9.

Câu trả lời cho câu hỏi trên là: \(A \mod 9 = 1 \mod 9 = 1\). Do đó, khi chia A cho 9, dư sẽ là 1.

Do đó, khi A chia cho 9 sẽ dư 1.

Nhận xét ta thấy 1 + 11 + 111 + ... + 1111111111 = 1***0 = 9 x 1*** + 1.

Vậy A = 1***0. Ta tính A chia cho 9: 1***0 / 9 = 1*** dư 1.

Duyệt từng số hạng, ta có: A = 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + 111111 + 1111111 + 11111111 + 111111111 + 1111111111 = 1***0.