Câu 1. a) (0,5 điểm). Tính giới hạn $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2\sqrt{x+3}+x-5}{x-{{x}^{2}}}$. b) (0,5 điểm). Tìm các số thực $a, \, b$ thỏa mãn $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( \dfrac{{{x}^{2}}+ax+b}{{{x}^{2}}-1} \right)=-\dfrac{1}{2}.$
Mình thực sự bí bách ở câu hỏi này, mong ai đó có thể tận tình chỉ giáo giúp mình với!

Phương pháp giải:

a) Để tính giới hạn $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2\sqrt{x+3}+x-5}{x-{{x}^{2}}}$, ta thực hiện các bước sau:
- Đặt $y = \dfrac{2\sqrt{x+3}+x-5}{x-{{x}^{2}}}$.
- Nhân tử và mẫu với $\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+1}$ để loại bỏ căn và giảm bậc của nhiều hàm số.
- Sử dụng đạo hàm để tính giới hạn.

b) Để tìm các số thực $a, \, b$ thỏa mãn $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( \dfrac{{{x}^{2}}+ax+b}{{{x}^{2}}-1} \right)=-\dfrac{1}{2}$, ta có thể thực hiện các bước sau:
- Đặt $y = \dfrac{{{x}^{2}}+ax+b}{{{x}^{2}}-1}$.
- Nhân tử và mẫu với $\dfrac{1}{x-1}$ để loại bỏ $x-1$ ở mẫu.
- Sử dụng phương pháp chia tổ hợp để giải phương trình với $a, b$.

Câu trả lời:
a) $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2\sqrt{x+3}+x-5}{x-{{x}^{2}}} = -\dfrac{8}{3}$.
b) Các số thực $a = -\frac{7}{2}$ và $b = \frac{3}{2}$ thỏa mãn điều kiện đã cho.

{
"content1": {
"a)": "a) Ta có: $\underset{x\to 1}{\lim }\dfrac{2\sqrt{x+3}+x-5}{x-x^2}=\underset{x\to 1}{\lim }\dfrac{2\sqrt{x+3}+x-5}{x(1-x)}=\underset{x\to 1}{\lim }\dfrac{2\sqrt{x+3}+x-5}{x(1-x)}$",
"b)": "b) Ta giải phương trình $\underset{x\to 1}{\lim }\left( \dfrac{x^2+ax+b}{x^2-1} \right)=-\dfrac{1}{2}$",
},
"content2": {
"a)": "a) Đặt $f(x)=2\sqrt{x+3}+x-5$ và $g(x)=x-x^2$, ta có thể giải bằng cách đưa về dạng bruch rồi tính giới hạn.",
"b)": "b) Ta có thể chia tử và mẫu cho $x-1$ để tìm ra giới hạn của biểu thức."
},
"content3": {
"a)": "a) Dùng công thức l'Hôpital hoặc khai triển Taylor để tính giới hạn.",
"b)": "b) Thực hiện phép chia tử và mẫu để tìm giới hạn của từng thành phần."
},
"content4": {
"a)": "a) Sử dụng phân số không giải tử phân số không giải mẫu để đổi dạng biểu thức và tính giới hạn.",
"b)": "b) Tìm $a, b$ sao cho $\underset{x\to 1}{\lim }\left( \dfrac{x^2+ax+b}{x^2-1} \right)=-\dfrac{1}{2}$."
}
}