Bài 51 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)  Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa $\dfrac{3}{\sqrt{3}+1}$ ; $\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}$; $\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$ ;  $\dfrac{b}{3+\sqrt{b}}$ ;  $\dfrac{p}{2 .\sqrt{p}-1}$.
Mọi người thân mến, mình đang thật sự cần một lời khuyên cho câu hỏi này. Mọi người có thể hỗ trợ mình không?

Để giải bài toán trên, ta thực hiện các bước sau:

1. Kiểm tra các giá trị chữ đều có nghĩa hay không. Ta thấy các biểu thức $\frac{3}{\sqrt{3}+1}$, $\frac{2}{\sqrt{3}-1}$, $\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$, $\frac{b}{3+\sqrt{b}}$ và $\frac{p}{2\sqrt{p}-1}$ đều có nghĩa với mọi giá trị của $b$ và $p$. Do đó, giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa được thỏa mãn.

2. Tiến hành trực giao căn thức ở mẫu.

- Giải tổng quát: Để trực giao căn thức ở mẫu, ta nhân phân tử và mẫu với ước số chung cùng nhau trong căn thức ở mẫu. Sau đó, ta áp dụng công thức chuyển đổi tử số của phân số để đưa căn thức về dạng bình thường, rồi tính giá trị cuối cùng.

3. Áp dụng phương pháp trên vào từng biểu thức chữ có trong bài toán.

a) Giá trị của biểu thức $\frac{3}{\sqrt{3}+1}$:

$= \frac{3}{\sqrt{3}+1}.\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}$

$= \frac{3(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}$

$= \frac{3\sqrt{3}-3}{(\sqrt{3})^2-1}$

$= \frac{3\sqrt{3}-3}{3-1}$

$= \frac{3\sqrt{3}-3}{2}$

$\Rightarrow$ Giá trị cuối cùng của biểu thức là $\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$


b) Giá trị của biểu thức $\frac{2}{\sqrt{3}-1}$:

$= \frac{2}{\sqrt{3}-1}.\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$

$= \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$

$= \frac{2\sqrt{3}+2}{(\sqrt{3})^2-1}$

$= \frac{2\sqrt{3}+2}{3-1}$

$= \frac{2\sqrt{3}+2}{2}$

$\Rightarrow$ Giá trị cuối cùng của biểu thức là $2+\sqrt{3}$


c) Giá trị của biểu thức $\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$:

$= \frac{(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$

$= \frac{4+2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3}{4-3}$

$= \frac{7+4\sqrt{3}}{1}$

$\Rightarrow$ Giá trị cuối cùng của biểu thức là $7+4\sqrt{3}$


d) Giá trị của biểu thức $\frac{b}{3+\sqrt{b}}$:

$= \frac{b}{3+\sqrt{b}}.\frac{3-\sqrt{b}}{3-\sqrt{b}}$

$= \frac{b(3-\sqrt{b})}{(3+\sqrt{b})(3-\sqrt{b})}$

$= \frac{3b-b\sqrt{b}}{3^2-\sqrt{b}^2}$

$= \frac{3b-b\sqrt{b}}{9-b}$

$\Rightarrow$ Giá trị cuối cùng của biểu thức là $\frac{3b-b\sqrt{b}}{9-b}$


e) Giá trị của biểu thức $\frac{p}{2\sqrt{p}-1}$:

$= \frac{p}{2\sqrt{p}-1}.\frac{2\sqrt{p}+1}{2\sqrt{p}+1}$

$= \frac{p(2\sqrt{p}+1)}{(2\sqrt{p}-1)(2\sqrt{p}+1)}$

$= \frac{2p\sqrt{p}+p}{(2\sqrt{p})^2-1^2}$

$= \frac{2p\sqrt{p}+p}{4p-1}$

$\Rightarrow$ Giá trị cuối cùng của biểu thức là $\frac{2p\sqrt{p}+p}{4p-1}$

Vậy câu trả lời cho câu hỏi trên là:
a) $\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$
b) $2+\sqrt{3}$
c) $7+4\sqrt{3}$
d) $\frac{3b-b\sqrt{b}}{9-b}$
e) $\frac{2p\sqrt{p}+p}{4p-1}$