Tìm một số nguyên tố P chia cho  42 có dư r là hợp số.Tìm số dư r
Mình cảm thấy khá là lo lắng và không biết phải làm thế nào với câu hỏi này. Bạn nào thông tuệ giúp mình với, mình sẽ cảm kích mãi mãi!

Để tìm số nguyên tố P chia cho 42 có dư r là hợp số, ta cần tìm một số nguyên tố P sao cho P ≡ r (mod 42) và r là một số hợp số.

Cách 1:
Để tìm số nguyên tố P chia cho 42 có dư r là hợp số, ta có thể thử lần lượt các số nguyên tố P nhỏ hơn 42. Ta thấy rằng nếu chọn P = 47, ta sẽ có r = 5 là một số hợp số (5 là một số nguyên tố nhưng không phải số nguyên tố duy nhất). Vậy kết quả của bài toán là r = 5.

Cách 2:
Để tìm số nguyên tố P chia cho 42 có dư r là hợp số, ta có thể sử dụng Định lý Euclide về số nguyên tố và số hợp số. Ta biết rằng với mọi số nguyên p và q, nếu p là số nguyên tố và q không chia hết cho p thì số nguyên tố và hợp số đều cùng dư modulo p. Áp dụng vào bài toán này, ta thấy rằng 5 là số hợp số và cùng dư modulo 7 (số nguyên tố tiếp theo sau 5) nên ta có thể chọn P = 7 và r = 5.

Vậy số dư r cần tìm là 5.

Một ví dụ cụ thể: Ta có thể chọn P = 47, vì 47 là một số nguyên tố và 47 ≡ 5 (mod 42). Đồng thời, số dư r = 5 là một số hợp số. Vì vậy, 47 chia cho 42 có dư 5 là hợp số.

Một cách tiếp cận khác để giải bài toán này là sử dụng định lý Euler: nếu a và m là hai số nguyên tố cùng nhau, thì a^phi(m) ≡ 1 (mod m), trong đó phi(m) là số lượng số nguyên tố nhỏ hơn m. Từ đây, ta có thể tìm số nguyên tố P sao cho P^phi(42) ≡ r (mod 42) và r là một số hợp số.

Để tìm số nguyên tố P chia cho 42 có dư r là hợp số, ta cần tìm một số nguyên tố P sao cho P ≡ r (mod 42) và r là một số hợp số.

Trl :

 Ta có : 

\(P=42.k+r.=2.3.7.k+r\)

Vì \(r\)là hợp số và \(r< 42\)nên \(r\)phải là tích của 2 số \(r\)\(=x.y\)

\(x,y\)không thể là \(2,3,7\)và cũng không thể là số \(⋮2,3,7\)được vì thế thì \(P\)không là số nguyên tố

Vậy \(x,y\)có thể là \(\left\{5,11,13,...\right\}\)

Nếu \(x=5\)và \(y=11\)thì\(r=x.y\)= \(55>43\)

Vậy chỉ còn trường hợp : \(x=5\), \(y=5\). Khi đó , \(r=25\)