Cho hệ phương trình x +2y = 5 (1)                               mx + y = 4 (2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất mà x và y trái dấu
Làm ơn giúp mình với! Mình cần tìm câu trả lời cho một câu hỏi mình đã mất nhiều thời gian suy nghĩ mà chưa ra. Cảm ơn rất nhiều!

Ta biến đổi hai phương trình ban đầu thành y = (5 - x)/2 (3) và y = 4 - mx (4). Để x và y trái dấu, ta cần tìm m để (5 - x)/2 và 4 - mx trái dấu. Từ phương trình (3), ta có -2 < x - 5 < 2. Từ phương trình (4), ta có mx > 4 - x. Kết hợp hai điều kiện trên, ta thu được -2 < x - 5 < 2 và mx > 4 - x. Điều này xảy ra khi và chỉ khi -2 < x - 5 < 2 và -4x > -x - 4. Giải hệ bất đẳng thức này, ta tìm được 3/2 < x < 9/2 và m > 1/3. Vậy mảng giá trị của m để đảm bảo x và y trái dấu là (1/3, +∞).

Chúng ta có thể giải hệ phương trình bằng cách tìm hệ số m để đồ thị hai đường thẳng của các phương trình cắt nhau tại một điểm duy nhất. Điều này có nghĩa là hệ số góc của hai đường thẳng không bằng nhau. Từ phương trình (1), ta có đường thẳng có hệ số góc là -1/2. Từ phương trình (2), ta có đường thẳng có hệ số góc là -m. Để x và y trái dấu, ta cần hệ số góc -1/2 và -m có giá trị khác nhau. Tức là -1/2 ≠ -m. Điều này xảy ra khi và chỉ khi m ≠ 1/2.

Ta biến đổi phương trình (1) thành x = 5 - 2y. Thay x vào phương trình (2), ta có m(5 - 2y) + y = 4. Mở ngoặc và đơn giản hóa, ta được m = (4 - y)/(5 - 2y). Để x và y trái dấu, ta cần điều kiện (4 - y)/(5 - 2y) < 0. Tức là tử số và mẫu số phải trái dấu. Trong trường hợp này, ta phân tích thêm để thu được y > 4/3 và y < 5/2. Vậy, mảng giá trị của y để đảm bảo x và y trái dấu là (4/3, 5/2).