Cho tam giác ABC có góc BAC=135 độ.Về phía ngoài tam giác ABC,dựng các tam giác vuông cân ABD và ACE.Gọi K là giao điểm của BD và CE.Chứng minh rằng AK vuông góc BC
Chào các pro, hiện mình đang cần support nhanh chóng để giải đáp câu hỏi này. Ai có thể chia sẻ kiến thức của mình không?

Phương pháp giải:

- Vẽ tam giác ABC và vẽ đường tròn tâm A đi qua điểm B và C để cắt đường thẳng BC tại điểm D (thứ nhất) và E (thứ hai).

- Gọi K là giao điểm của BD và CE.

- Gọi I là trung điểm của BC.

- Ta cần chứng minh AK vuông góc với BC.

Cách giải 1:
- Ta sẽ chứng minh AKB vuông góc với BC bằng cách chứng minh tứ giác ADBK nội tiếp.
- Do ABC là tam giác, nên góc BAC = 180 - góc BCA - góc CAB = 180 - 135 - góc CAB = 45 - góc CAB = góc KAB.
- Tương tự, góc AKB = góc CAB.
- Do đó, ta có góc AKB = 180 - góc KAB - góc CAB = 180 - 45 - góc CAB = 135 - góc CAB = góc BAC = góc BDC (vì ADBK nội tiếp).
- Vậy ta có AK vuông góc BC.

Cách giải 2:
- Từ trung điểm I của BC, ta kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt đường thẳng AD tại điểm F.
- Ta sẽ chứng minh AK vuông góc với BC bằng cách chứng minh A, F, K thẳng hàng.
- Vì AB = AC, nên góc BAF = góc CAF = góc BCA/2.
- Do ABC là tam giác, nên góc BAC = 180 - góc BCA - góc CAB = 180 - 135 - góc CAB = 45 - góc CAB = góc KAB.
- Từ đó, ta có góc AFC = góc ABC - góc BAF = (90 - góc CAB) - (góc BCA/2) = góc ACB/2.
- Do đó, ta có góc AFC = góc ACB/2 = góc AFC (vì AF là đường cao của tam giác ABF).
- Vậy ta kết luận A, F, K thẳng hàng, từ đó AK vuông góc BC.

Câu trả lời: Ta đã chứng minh được AK vuông góc BC.

Gọi H là trung điểm của AD. Ta có AH // BC (do tam giác ABD là tam giác cân).
Gọi Q là giao điểm của AH và CE. Ta có góc AQH = 90 độ (vì AH // BC), góc AQC = 45 độ (vì tam giác AEC là tam giác vuông cân).
Vậy góc QHA = góc AQC - góc AQH = 45 - 90 = -45 độ (góc âm theo hướng ngược chiều kim đồng hồ).
Mà góc QHA nằm trong cung đẳng góc BAC nên góc BAC = -2 * góc QHA = 2 * 45 = 90 độ.
Vậy AK vuông góc với BC.

Gọi M là trung điểm của AB và N là trung điểm của AC. Ta có AM = MB và AN = NC.
Do đó, điểm M, N nằm trên đường trung bình của tam giác ABC.
Vì góc BAC = 135 độ nên góc BCN = 180 - góc BAC = 180 - 135 = 45 độ.
Vậy MN vuông góc với BC (do góc giữa đường trung bình và đường cao trong tam giác vuông bằng 90 độ).
Từ đó, ta có AM // BC và AN // BC.
Gọi P là giao điểm của BD và MN. Ta có góc BPC = góc BCN = 45 độ.
Mà góc BPC nằm ngoài cung đẳng góc BAC nên góc BPC = góc BAC = 135 độ.
Vậy AK vuông góc với BC.

Gọi I là trung điểm của BD và J là trung điểm của CE. Ta có AI // BC và AJ // BC (vì AD = AC và BD = CE).
Vậy A, I, J thẳng hàng.
Do đó, góc KAI = góc JAK (vì AK cắt đứt đoạn AIJ).
Mà AI đồng vuông BC nên góc JAK = góc BAC = 135 độ.
Vậy AK vuông góc với BC.

Ta có góc BAC = 135 độ và tam giác ABD là tam giác vuông cân nên góc ADB = góc BAD = (180 - 135)/2 = 22.5 độ. Tương tự, góc AEC = 22.5 độ. Khi đó, góc AKE = góc ADE + góc AEK = 22.5 + 22.5 = 45 độ.
Góc AKC = 180 - góc AKE = 180 - 45 = 135 độ.
Vậy AK vuông góc với BC.