\(Cho \ P=n^4+4.\)

Tìm tất cả số tự nhiên n để P là số nguyên tố.
Mọi người thân mến, mình đang thật sự cần một lời khuyên cho câu hỏi này. Mọi người có thể hỗ trợ mình không?

Để tìm tất cả số tự nhiên n để P là số nguyên tố, ta cần đi tìm các giá trị của n sao cho P là số nguyên tố.

Phương pháp giải:
- Trước hết, ta xét trường hợp nếu \(n\) là số nguyên âm. Khi đó, \(n^4\) luôn là số dương và \(4\) là số dương, do đó \(P = n^4 + 4\) sẽ luôn là số dương. Vậy không có số tự nhiên \(n\) nào thỏa điều kiện đề bài.
- Tiếp theo, ta xét trường hợp nếu \(n = 0\). Khi đó, \(P = n^4 + 4 = 4\) và \(4\) không phải là số nguyên tố.
- Cuối cùng, ta xét trường hợp nếu \(n > 0\). Khi đó, ta thử một vài giá trị nhỏ của \(n\) để xem liệu \(P\) có thể là số nguyên tố không:
+ Với \(n = 1\), ta có \(P = n^4 + 4 = 1^4 + 4 = 5\), và \(5\) là số nguyên tố.
+ Với \(n = 2\), ta có \(P = n^4 + 4 = 2^4 + 4 = 20\), và \(20\) không phải là số nguyên tố.
+ Với \(n = 3\), ta có \(P = n^4 + 4 = 3^4 + 4 = 85\), và \(85\) không phải là số nguyên tố.
+ Với \(n = 4\), ta có \(P = n^4 + 4 = 4^4 + 4 = 272\), và \(272\) không phải là số nguyên tố.

Từ những giá trị đã thử, thấy chỉ có \(n = 1\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy, tất cả số tự nhiên \(n\) để \(P\) là số nguyên tố là \(n = 1\).