VI. Liên hệ giữa đường tròn và đường elipHoạt động 8.Cho elip (E) có phương trình chính tắc...

Để giải câu hỏi trên, ta cần thực hiện các bước sau đây:

a) Để tính $y^2$ theo $x^2$ từ phương trình chính tắc của elip (E), ta có:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{x^2}{a^2} = \frac{a^2 - x^2}{a^2}$
$\Rightarrow y^2 = \frac{(a^2 - x^2)b^2}{a^2}$

Để tính $y_1^2$ theo $x^2$ từ phương trình đường tròn (C), ta có:
$x^2 + y_1^2 = a^2$
$\Rightarrow y_1^2 = a^2 - x^2$

b) Ta cần tính tỉ số $\frac{HM}{HM_1} = \frac{y}{y_1}$ theo $a$ và $b$. Từ phần a), ta đã có các kết quả sau:
$y^2 = \frac{(a^2 - x^2)b^2}{a^2}$ và $y_1^2 = a^2 - x^2$

Suy ra:
$\frac{y^2}{y_1^2} = \frac{\frac{(a^2 - x^2)b^2}{a^2}}{a^2 - x^2} = \frac{b^2}{a^2}$
$\Rightarrow \frac{y}{y_1} = \frac{b}{a}$

Vậy, tỉ số $\frac{HM}{HM_1} = \frac{y}{y_1} = \frac{b}{a}$.

Câu trả lời đầy đủ và chi tiết hơn là:
a) Tính được:
$y^2 = \frac{(a^2 - x^2)b^2}{a^2}$ và $y_1^2 = a^2 - x^2$

b) Tỉ số $\frac{HM}{HM_1} = \frac{y}{y_1} = \frac{b}{a}$