Đề Toán tuyển sinh năm 2019 trường chuyên KHTN – Hà Nội (Vòng 2)

Nội dung Đề Toán tuyển sinh năm 2019 trường chuyên KHTN – Hà Nội (Vòng 2) Bản PDF

Đề Toán tuyển sinh năm 2019 trường chuyên KHTN – Hà Nội (Vòng 2)

Sytu xin gửi đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề Toán tuyển sinh lớp 10 năm 2019 trường chuyên KHTN – Hà Nội (Vòng 2). Đề thi này được thiết kế dành cho các thí sinh dự thi vào các lớp 10 chuyên Toán – Tin. Đề thi bao gồm 1 trang với 4 bài toán, thời gian làm bài là 90 phút.

Trích đoạn đề Toán tuyển sinh lớp 10 năm 2019 trường chuyên KHTN – Hà Nội (Vòng 2) như sau:

1. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 4x^2 + 4y^2 + 17xy + 5x + 5y ≥ 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 17x^2 + 17y^2 + 16xy.

2. Trong tam giác cân ABC tại A, có đường tròn nội tiếp (I). Điểm E trên CA và điểm F trên AB sao cho EF tiếp xúc với đường tròn (I) tại điểm P. Gọi K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của E, F lên BC. Giả sử FK cắt EL tại J. Hãy chứng minh rằng HJ là phân giác của EHF.

   Ký hiệu S1 và S2 lần lượt là diện tích của các tứ giác BFJL và CEJK. Chứng minh rằng: S1/S2 = BF^2/CE^2.

   Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm P, J, D thẳng hàng.

3. Cho M là tập tất cả 4039 số nguyên liên tiếp từ -2019 đến 2019. Chứng minh rằng trong 2021 số đôi một phân biệt được chọn bất kì từ tập M luôn tồn tại 3 số đôi một phân biệt có tổng bằng 0.