Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2022 2023 sở GD ĐT Hà Nam

Nội dung Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2022 2023 sở GD ĐT Hà Nam Bản PDF

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 12 năm 2022 - 2023 sở GDĐT Hà Nam

Sytu xin kính chào quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12. Để tạo điều kiện cho các em tham gia kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán, chúng tôi xin giới thiệu đến các bạn đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 năm 2022 - 2023 và mời các em tham gia vào đội tuyển tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán cấp quốc gia.

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 12 năm 2022 - 2023 sở GDĐT Hà Nam bao gồm các câu hỏi sau:

1. Cho tam giác ABC có AB < AC và đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Phân giác trong của góc BAC cắt các đường thẳng DE, DF lần lượt tại X, Y. Gọi S, T là các điểm nằm trên cạnh BC sao cho XSY = XTY = 90°. Hãy chứng minh rằng BX, CY là các tiếp tuyến của đường tròn đường kính XY. Sau đó, chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AST tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
2. Xét các số nguyên a, b, c với c >= 0 sao cho an + 2n là ước của bn + c với mọi n nguyên dương. Hãy chứng minh rằng c = 0 hoặc c = 1. Nếu c = 1, hãy chứng minh rằng a và b không đồng thời là các số chính phương.
3. Với mỗi số tự nhiên n >= 4, ký hiệu an là số nhỏ nhất các tập con có 3 phần tử của tập hợp Sn = {1; 2; 3; ...; n} sao cho với mọi tập con có 4 phần tử của Sn luôn chứa ít nhất một trong các tập con có 3 phần tử này. Hãy xác định a6 và chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n >= 4 thì an >= 1/4.nC3.

Chúng tôi hy vọng rằng đề thi này sẽ giúp các em học sinh lớp 12 rèn luyện và nâng cao kiến thức, kiểm tra khả năng giải quyết vấn đề và chuẩn bị tốt cho kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán sắp tới. Chúc các em thành công!