Xét tính bị chặn của các dãy số với số hạng tổng quát sau : a) \(x_n=\dfrac{5n^2}{n^2+3}\) b) \(y_n=\left(-1\right)^n\dfrac{2n}{n+1}\sin n\) c) \(z_n=n\cos n\pi\)
Mình có một câu hỏi muốn nhờ mọi người giúp đỡ trả lời. Ai có kinh nghiệm, xin đừng ngần ngại chia sẻ với mình!

Để xác định tính bị chặn của dãy số, ta cần phân tích giới hạn của dãy số đó khi \(n\) tiến đến vô cùng.

a) Để xác định tính bị chặn của dãy số \(x_n=\frac{5n^2}{n^2+3}\), ta có:
\[ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{5n^2}{n^2+3} = 5 \]
Vậy dãy số \(x_n\) không bị chặn.

b) Để xác định tính bị chặn của dãy số \(y_n=(-1)^n \frac{2n}{n+1}\sin n\), ta có:
\[ |y_n| = \left| (-1)^n \frac{2n}{n+1}\sin n \right| \leq \frac{2n}{n+1} \]
Do đó, khi \(n\) tiến đến vô cùng, ta có:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} 2 = 2 \]
Vậy dãy số \(y_n\) có tính bị chặn.

c) Để xác định tính bị chặn của dãy số \(z_n = n\cos(n\pi)\), ta có:
\[ |z_n| = |n\cos(n\pi)| = n \]
Khi \(n\) tiến đến vô cùng, dãy số \(z_n\) sẽ không bị chặn.

Như vậy:
a) Dãy số \(x_n\) không bị chặn.
b) Dãy số \(y_n\) bị chặn.
c) Dãy số \(z_n\) không bị chặn.