Xét các số thực a,b,c thỏa mãn -1≤ a,b,c ≤2; a+b+c=0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=\(a^2+b^2+c^2\)
Bạn nào ở đây biết về cái này có thể giúp mình một chút không? Mình đang cực kỳ cần sự hỗ trợ!

Lời giải:

$P=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=0-2(ab+bc+ac)=-2(ab+bc+ac)$

Do $-1\leq a,b,c\leq 2$ nên:

$(a+1)(b+1)\geq 0$

$(b+1)(c+1)\geq 0$

$(c+1)(a+1)\geq 0$

Cộng 3 BĐT trên lại và thu gọn thì:
$ab+bc+ac+2(a+b+c)+3\geq 0$

$\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq -3$

$\Rightarrow P=-2(ab+bc+ac)\leq (-2)(-3)=6$
Vậy $P_{\max}=6$. Giá trị này đạt tại $(a,b,c)=(2,-1,-1)$ và hoán vị.