Tìm nguyên hàm: \(\int\dfrac{sin2x}{\left(2+sinx\right)^2}dx\)
Mình đang cảm thấy hơi bị mất phương hướng đây. Có ai có thể nhẹ nhàng hướng dẫn mình không? Làm ơn và cảm ơn rất nhiều!

Để giải bài toán tích phân trên, ta thực hiện phép biến đổi sau:

Đặt t = sinx, ta có dt = cosx dx

Vậy, phương trình trở thành:

\(\int\dfrac{2t}{\left(2+t\right)^2}dt\)

Tiến hành phân tích dạng tổng:

\(\int\dfrac{2t}{\left(2+t\right)^2}dt = \int\dfrac{2}{2+t}dt - \int\dfrac{4}{\left(2+t\right)^2}dt\)

= 2ln|2+t| + \(\dfrac4{2+t}\) + C

= 2ln|2+sinx| + \(\dfrac4{2+sinx}\) + C

Vậy, nguyên hàm của \(\dfrac{sin2x}{\left(2+sinx\right)^2}\) là: 2ln|2+sinx| + \(\dfrac4{2+sinx}\) + C.

{
"content1": "Để giải bài toán này, ta sử dụng phép đổi biến. Đặt t = sin(x), sau đó tính dt = cos(x)dx. Khi đó, ta có: \(\int\dfrac{sin2x}{\left(2+sinx\right)^2}dx = \int\dfrac{2t}{\left(2+t\right)^2}dt\)",
"content2": "Tiếp theo, ta phân tích \(\dfrac{2t}{\left(2+t\right)^2} = \dfrac{A}{2+t} + \dfrac{B}{\left(2+t\right)^2}\) và giải hệ phương trình tìm A và B. Sau đó áp dụng phương pháp phân rã thành tổng các phân thức đơn giản và tính phép tích phân của từng phân thức.",
"content3": "Sau khi tính toán, ta sẽ thu được kết quả cuối cùng là \(\int\dfrac{sin2x}{\left(2+sinx\right)^2}dx = -\dfrac{\cos(x)}{2+ \sin(x)} + C\) với C là hằng số trong đáp án."
}