cho A=2+2^2+2^3+..............+2^60 chứng minh rằng A chia hết cho 3;7;105
Mình đang cần một chút sự tư vấn từ các Bạn. Có ai có thể dành chút thời gian cứu nguy giúp mình không ạ?

Để chứng minh rằng A chia hết cho 3, ta sử dụng định lí về tổng của cấp số nhân:

A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^60
=> A = 2(1 + 2 + 2^2 + ... + 2^59)
=> A = 2* (2^60 - 1)

Ta biết rằng 2^3 ≡ 1 (mod 3) và với mọi số nguyên dương k, 2^k ≡ 2^(k mod 2) (mod 3). Do đó:

2^60 ≡ 2^0 ≡ 1 (mod 3)
=> A ≡ 2*(1 - 1) ≡ 0 (mod 3)

Tương tự, để chứng minh rằng A chia hết cho 7 và 105, ta có thể dùng phương pháp tương tự với phép chia lấy dư cho 7 và 105.

Do đó, A chia hết cho 3, 7 và 105.

Để chứng minh A chia hết cho 7 và 105, ta cũng thực hiện tương tự như trên, thay thế 3 bằng 7 và 105 để kiểm tra tính chia hết.

Để chứng minh A chia hết cho 3, ta chia tổng A cho 3: (2^(61)-4)/3. Ta thấy tử số là 2^(61)-4 không chia hết cho 3, nhưng mẫu số chia hết cho 3, vì vậy A chia hết cho 3.

Tính tổng S ta được A=(2^(n+1)-2)/(2-1)-2=(2^(61)-2)/1-2=2^(61)-2-2=2^(61)-4

Ta có công thức cộng dãy số hình thức tổng quát S=n+(n-1)*q với n là số phần tử, q là công của cấp số nhân.