1/Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=\(\frac{2x}{x-2}\) Tại điểm có hoành độ bằng 3 2/có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y=\(\frac{2x+3}{x-1}\) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=-5x-3
Chào mọi người, mình đang gặp chút rắc rối. Có ai có thể dành chút thời gian để giúp mình giải đáp câu hỏi này không?

1/ Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = \(\frac{2x}{x-2}\) tại điểm có hoành độ bằng 3, ta cần tìm được đạo hàm của hàm số và sau đó sử dụng công thức tính phương trình tiếp tuyến.

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số y = \(\frac{2x}{x-2}\):
\(y' = \frac{2(x-2)-2x}{(x-2)^2} = \frac{-4}{(x-2)^2}\)

Bước 2: Tại điểm có hoành độ bằng 3, ta thay x = 3 vào đạo hàm để tính độ dốc của tiếp tuyến tại điểm đó:
\(y'(3) = \frac{-4}{(3-2)^2} = -4\)

Bước 3: Sử dụng công thức tính phương trình tiếp tuyến:
Phương trình tiếp tuyến có dạng: \(y - y_0 = k(x - x_0)\), trong đó (x_0, y_0) là tọa độ điểm tiếp tuyến và k là độ dốc của tiếp tuyến.

Với điểm có hoành độ bằng 3, ta có \(x_0 = 3\) và \(y_0 = \frac{2(3)}{3-2} = 6\).

Thay đổi \(k = -4\) vào công thức, ta có: \(y - 6 = -4(x - 3)\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = \(\frac{2x}{x-2}\) tại điểm có hoành độ bằng 3 là \(y - 6 = -4(x - 3)\).

2/ Để tìm số lượng tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = \(\frac{2x+3}{x-1}\) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -5x - 3, ta cần xét điều kiện tiếp tuyến này.

Đường thẳng song song với đường thẳng y = mx + c có cùng độ dốc m.

Do đó, để tiếp tuyến có độ dốc -5, hàm số y = \(\frac{2x+3}{x-1}\) cũng phải có độ dốc -5 tại điểm tiếp tuyến.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số y = \(\frac{2x+3}{x-1}\):
\(y' = \frac{(2)(x-1) - (2x+3)(1)}{(x-1)^2} = \frac{-5}{(x-1)^2}\)

Bước 2: Để độ dốc của hàm số là -5, ta cần giải phương trình \(y' = -5\):
\(\frac{-5}{(x-1)^2} = -5\)

Điều kiện để phương trình có nghiệm là (x - 1) khác 0:
\(x - 1 \neq 0\)
\(x \neq 1\)

Bước 3: Với điều kiện x khác 1, phương trình đã cho sẽ có một nghiệm duy nhất.

Vậy số lượng tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = \(\frac{2x+3}{x-1}\) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -5x - 3 là 1.