Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho các điểm $A(-1 ; 3), B(2 ; 6), C(5 ; 0)$ và đường thẳng $\Delta: 3 x-y+1=0$. Tìm $M(a ; b)$ nằm trên $\Delta$ thì biểu thức $

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có:

$\left\{{}\begin{matrix}x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}=2\\y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=3\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow G\left(2;3\right)$

Do M nằm trên $\Delta:3x-y+1=0$ nên $M\left(m;3m+1\right)$. Ta có $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MG} \right|$ $=3MG$

Gọi I là tâm tỉ cự của 2 điểm A, B ứng với bộ số $\left(1;2\right)$ $\Rightarrow\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$. Điều này có nghĩa $\overrightarrow{IB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$. Mà $\overrightarrow{AB}=\left(3;3\right)$ nên $\overrightarrow{IB}=\left(1;1\right)$ $\Rightarrow I\left(1;5\right)$

Với điểm M, ta có $\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|=\left|\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)+2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)\right|$ $=\left|3\overrightarrow{MI}\right|=3MI$ (do $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$)

Từ đó $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|+\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|$

$=3\left(MG+MI\right)$. Ta sẽ tìm GTNN của $MG+MI$

Ta thấy $MG+MI\ge IG$. Ta lại có $\left(3.2-3+1\right)\left(3.1-5+1\right)< 0$ nên I và G nằm khác phía so với đường thẳng $\Delta:3x-y+1=0$. Do đó, $MG+MI=IG\Leftrightarrow$ M nằm trên IG.

Phương trình đường thẳng IG: $\dfrac{y-3}{x-2}=\dfrac{5-3}{1-2}=-2$ $\Leftrightarrow y-3=4-2x$ $\Leftrightarrow2x+y-7=0$.

M thuộc IG $\Leftrightarrow2m+\left(3m+1\right)-7=0$ $\Leftrightarrow m=\dfrac{6}{5}$ $\Rightarrow M\left(\dfrac{6}{5};\dfrac{23}{5}\right)$

Vậy điểm $M\left(\dfrac{6}{5};\dfrac{23}{5}\right)$ thỏa mãn ycbt.

Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?

51 vote

Cảm ơn 1 Trả lời.3 tháng trước

Các câu trả lời