Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x - 1 2 + y - 2 2 + z - 3 2 = 25 và hai điểm A(3;-2;6) và B(0;1;0). Mặt phẳng (P):ã+by+cz-2=0 chứa đường thẳng AB và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức M = 2a + b – c. A. M = 2 B. M = 3 C. M = 1 D. M = 4
Mọi người thân mến, mình đang thật sự cần một lời khuyên cho câu hỏi này. Mọi người có thể hỗ trợ mình không?

Để giải bài toán này, ta cần làm như sau:

1. Tìm phương trình giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S):
- Ta có điểm A(3;-2;6) và B(0;1;0) nằm trên đường thẳng AB.
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (a, b, c) = (a, 1, b).
- Vì đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (P), nên ta thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta được a.3 + 1(-2) + b.6 - 2 = 0 và a.0 + 1.1 + b.0 - 2 = 0.
- Giải hệ phương trình ta được phương trình mặt phẳng (P) là x - 2y + 3z - 2 = 0.

2. Tìm giao điểm của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S) để được đường tròn nhỏ nhất:
- Thay phương trình mặt phẳng (P) vào phương trình mặt cầu (S), ta được phương trình đường tròn có tâm I(1;2;3) và bán kính 5.

3. Tính giá trị M = 2a + b - c:
- Dễ dàng thấy được vector pháp tuyến của mặt cầu (S) là đạo hàm của phương trình mặt cầu, nên ta lấy vector pháp tuyến của mặt cầu (S) là (1;2;3).
- Từ phương trình mặt phẳng (P), ta có vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (1;-2;3).
- Từ đó, ta tính được M = 2(1) + 1 - 3 = 0.

Vậy câu trả lời đúng là: M = 0.

Để giải bài toán này, ta cần làm theo các bước sau:
1. Tìm phương trình của đường thẳng AB.
2. Xác định phương trình của mặt phẳng chứa đường thẳng AB.
3. Tìm điểm C là giao điểm giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) để xác định được bán kính nhỏ nhất của đường tròn giao tuyến với mặt cầu.
4. Tính giá trị của biểu thức M = 2a + b - c.

Giải theo phương pháp như sau:
1. Phương trình đường thẳng AB:
AB : $\dfrac{x-3}{3} = \dfrac{y+2}{-3} = \dfrac{z-6}{-6}$
2. Mặt phẳng chứa AB:
Để xác định phương trình mặt phẳng chứa AB, ta dùng điểm A(3;-2;6) làm điểm và có vector pháp tuyến là $\vec{AB}(3;-2;6)-(0;1;0) = (3;-3;6)$
Nên phương trình mặt phẳng là: $3x-3y+6z-27=0$
3. Giao điểm giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):
Thay phương trình mặt phẳng vào phương trình mặt cầu ta được: $3a-b+6c-27=0$
Xét tại giao điểm giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S), mặt cầu chạm mặt phẳng (P) nên ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}
x-3=la \\
y+3=lb \\
z-6=lc \\
3a-b+6c-27=0
\end{cases}$

Giải hệ phương trình trên ta có $l=5$, $a=15$, $b=-15$, $c=3$.
4. Tính giá trị của biểu thức M:
$M = 2a + b - c = 2*15 + (-15) - 3 = 30 - 15 - 3 = 12$

Vậy câu trả lời đúng là: D. M = 4.

Sử dụng định lý cực tiểu cực đại trong hình học không gian, ta có thể giải bài toán trên bằng cách tìm điểm cực tiểu của đường tròn nói trên. Sau đó, kết hợp với mối quan hệ giữa các vector pháp tuyến đối với mặt cầu và mặt phẳng, ta có thể tính được giá trị của biểu thức M.

Xác định mặt phẳng đi qua điểm I vuông góc với đường tròn nói trên, gọi mặt phẳng này là (Q). Lấy I’ là điểm đối xứng của I qua mặt phẳng (Q). Khi đó, OI’ vuông góc với đường tròn nói trên. Từ đó, ta dễ dàng tính được giá trị của biểu thức M.

Gọi I là điểm cực tiểu của đường tròn nói trên. Ta có LI vuông góc MN tại L. Khi đó, LI là vector pháp tuyến của mặt cầu tại I, và OL là vector pháp tuyến của mặt cầu tại L. Do đó, LI = a - 3i - 2b + j - 6c + k và OL = a. Vì LI nằm trên mặt phẳng (P) nên LI.(a;b;c) = 2. Từ đó, ta suy ra 2a + b - c = 2.