Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \(A\left(6;-2;3\right),B\left(0;1;6\right),C\left(2;0;-1\right),D\left(4;1;0\right)\) . Gọi (S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D. Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A ?  
Chào các pro, hiện mình đang cần support nhanh chóng để giải đáp câu hỏi này. Ai có thể chia sẻ kiến thức của mình không?

Để tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A, ta cần xác định bán kính của mặt cầu và vector pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm.

Bước 1: Tìm bán kính của mặt cầu
Để tìm bán kính R của mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D, ta có thể sử dụng công thức khoảng cách giữa 2 điểm trong không gian:
\(R = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2 + (z_A - z_B)^2}\)

Bước 2: Xác định vector pháp tuyến của mặt phẳng
Gọi vector OA là vector nối từ tâm O đến điểm A: \(\vec{OA} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\)
Vector pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm sẽ là vector này nhân với bán kính của mặt cầu (do mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A nên vector pháp tuyến của mặt phẳng chính là vector này):

\(\vec{n} = R\vec{OA} = R \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\)

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng
Với điểm A(6, -2, 3) và vector pháp tuyến \(\vec{n}\) đã xác định, ta có thể viết phương trình mặt phẳng của mặt phẳng cần tìm.

Vậy phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A là:
\(6x - 2y + 3z = k\) (với k là hằng số).

Đáp án: \(6x - 2y + 3z = 24\)

{
"content1": "Để tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A, ta cần tìm véc-tơ pháp của mặt phẳng.",
"content2": "Véc-tơ pháp của mặt phẳng sẽ là véc-tơ nối từ tâm của mặt cầu đến điểm A, và vì điểm A thuộc mặt cầu nên véc-tơ nối này sẽ vuông góc với véc-tơ pháp của mặt cầu.",
"content3": "Để tính véc-tơ pháp của mặt phẳng, ta lấy véc-tơ từ tâm của mặt cầu đến điểm A: OA = \( \vec{OA} = \begin{pmatrix} 6-0 \\ -2-1 \\ 3-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix}\)",
"content4": "Véc-tơ pháp của mặt phẳng sẽ là véc-tơ này: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix}\). Để có phương trình mặt phẳng cần tìm, ta cần biết điểm A và véc-tơ pháp này.",
"content5": "Vậy phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A sẽ có dạng: \(6x -3y -3z + d = 0\), với điểm A(6, -2, 3) và véc-tơ pháp \(\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix}\)."
}