Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đương thẳng: y=(2m+10)x-4m-1 và điểm A(-2;3).Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng trên là lớn nhất.
Mọi người ơi, mình đang vướng mắc một chút, có ai có kinh nghiệm có thể chỉ giáo mình cách giải quyết câu hỏi này không?

Để tìm giá trị của m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng cho trên là lớn nhất, ta cần tìm điểm C trên đường thẳng sao cho đường thẳng đi qua C và vuông góc với đường thẳng cho trên.

Đường thẳng cho trên có hệ số góc là \(2m + 10\), vậy hệ số góc của đường thẳng vuông góc sẽ là \(-\frac{1}{2m+10}\).

Đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trên đi qua điểm C có phương trình là \(y = -\frac{1}{2m+10} x + c\), với c là hằng số cần tìm.

Điểm C cũng nằm trên đường thẳng cho trên nên thảo mãn phương trình đường thẳng cho trên y = (2m+10)x - 4m - 1.

Từ hai phương trình trên, ta có thể giải hệ phương trình 2 phương trình 2 ẩn để tìm tọa độ của điểm C. Sau đó tính khoảng cách từ A đến C, sử dụng công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm trên mặt phẳng 2 chiều.

Cuối cùng, để tìm giá trị m để khoảng cách đó là lớn nhất, ta lấy đạo hàm của khoảng cách theo m và giải phương trình đạo hàm bằng 0.
Đáp án: m = -3.

Để tìm giá trị của m sao cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng là lớn nhất, ta cần tìm điểm C trên đường thẳng sao cho đường thẳng vuông góc với AC.

Đặt điểm C(x;y) là điểm cần tìm trên đường thẳng.
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng được tính bằng công thức: d = |Ax + By + C| / √(A^2 + B^2), với đường thẳng y = mx + n có dạng Ax - By + C = 0

Đường thẳng y = (2m+10)x - 4m - 1 có dạng x - y + (4m + 1) = 0
Vì đường thẳng này vuông góc với AC nên tích của hệ số góc của hai đường thẳng này bằng -1:
(2m + 10) = -1
=> m = -11/2

Khi đó, ta tính được điểm C(x;y) là giao điểm của đường thẳng y = -11/2x + n với đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng ban đầu. Sau đó tính khoảng cách từ điểm A đến C, rồi substitude vào công thức để tìm giá trị m sao cho khoảng cách lớn nhất.

Từ phương trình đạo hàm d/dm = 0, sau khi giải phương trình ta sẽ tìm được giá trị của m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng là lớn nhất.

Để khoảng cách d lớn nhất, ta cần tìm đạo hàm của d theo m và giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị tối đa của d.

Thay vào công thức trên ta có d = |(2m+10)(-2) - 4m - 1 + 3| / sqrt((2m+10)^2 + 1^2)