Xét tính đơn điệu (Un) với Un=4n+3/3n+4
Mình đây, cần một chuyên gia tốt bụng giải cứu ngay lập tức! Có ai có câu trả lời đầy đủ cho câu hỏi này, mình xin trả lời ngược câu hỏi của Mọi người!

Để xét tính đơn điệu của dãy số (Un), ta cần chứng minh rằng Un+1 ≥ Un hoặc Un+1 ≤ Un với mọi n là số nguyên dương.

Ta có Un = \(\frac{4n+3}{3n+4}\)

Vậy Un+1 = \(\frac{4(n+1)+3}{3(n+1)+4}\) = \(\frac{4n+4+3}{3n+3+4}\) = \(\frac{4n+7}{3n+7}\)

Để chứng minh tính đơn điệu của dãy (Un), ta xét sự chênh lệch Un+1 - Un:

Un+1 - Un = \(\frac{4n+7}{3n+7}\) - \(\frac{4n+3}{3n+4}\) = \(\frac{(4n+7)(3n+4)-(4n+3)(3n+7)}{(3n+7)(3n+4)}\)

= \(\frac{12n^2+28n+21+12n^2+1-(12n^2+33n+21)}{(3n+7)(3n+4)}\)

= \(\frac{24n+22}{(3n+7)(3n+4)}\)

= \(\frac{2(12n+11)}{3(3n+7)(n+4)}\)

Với n > 0, ta thấy Un+1 - Un > 0, do đó dãy (Un) là dãy tăng.

Vậy dãy (Un) là một dãy đơn điệu tăng.

Câu trả lời: Dãy Un=4n+3/3n+4 là một dãy số đơn điệu tăng.

Dãy (Un) cũng có thể được chứng minh đơn điệu bằng cách sử dụng so sánh trong toán học. Ví dụ, so sánh Un+1/Un với 1, ta có thể chứng minh dãy (Un) là dãy đơn điệu tăng hoặc giảm.

Ta chứng minh tính đơn điệu của dãy (Un) bằng phương pháp khám phá bằng giá trị nhỏ. Chẳng hạn, khi n=1, ta có U1=1.25 và U2=1.4, với U2>=U1, suy ra dãy (Un) đơn điệu tăng.

Dãy (Un) có thể được chứng minh là dãy đơn điệu giảm bằng cách chứng minh Un+1 <= Un, ta có: 4(n+1)+3/3(n+1)+4 <= 4n+3/3n+4 <=> 1/(n+1)+1 > 0, với mọi n, suy ra dãy (Un) là dãy đơn điệu giảm.

Ta chứng minh được rằng dãy (Un) là dãy đơn điệu tăng bằng cách tính đạo hàm của Un, ta có: Un' = 4/(3n+4)^2 > 0 với mọi n, suy ra dãy (Un) là dãy đơn điệu tăng.