tìm các số nguyên tố x,y thỏa mãn: x^2 - 2y^2 = 1
Mình cần một tay giúp đây! Ai có thể đóng góp ý kiến để mình giải quyết câu hỏi này được không?

Để giải câu trên, chúng ta có thể sử dụng phương pháp lặp là phương pháp chia giữa. Phương pháp này dựa trên việc bằng chứng không tồn tại số nguyên x và y khác không thỏa mãn điều kiện x^2 - 2y^2 = 1.

1. Ta bắt đầu bằng cách tìm một cặp số nguyên x0, y0 thoả mãn x0^2 - 2y0^2 = 1.
2. Lấy hai công thức

x(n+1) = 3x(n) + 4y(n)
y(n+1) = 2x(n) + 3y(n)

cho n = 0. Cặp số nguyên đầu tiên (x1, y1) được tìm thấy bởi điều kiện y1 > 0.
3. Từ (x1, y1), sử dụng công thức trên để tìm cặp số nguyên tiếp theo (x2, y2).
4. Tiếp tục quá trình lặp cho đến khi tìm được cặp số nguyên x(n), y(n) thoả mãn x(n)^2 - 2y(n)^2 = 1 và y(n) là số nguyên tố.

Trả lời câu hỏi:

Các cặp số nguyên tố x, y thỏa mãn x^2 - 2y^2 = 1 là:
x = 1, y = 0
x = 3, y = 2
x = 7, y = 5
x = 17, y = 12
x = 41, y = 29
... (và tiếp tục)

Để tìm các số nguyên tố x, y thỏa mãn phương trình x^2 - 2y^2 = 1, chúng ta có thể áp dụng công thức số học là phân tích biểu thức trên thành dạng nhân của hai biểu thức có dạng (x + √2y)(x - √2y) = 1. Dựa vào công thức Pell, chúng ta có thể tìm ra các cặp số nguyên tố (x, y) thỏa mãn phương trình.

Cách 1: Áp dụng công thức Pell
Chúng ta có thể sử dụng công thức Pell để tìm các số nguyên tố (x, y) thỏa mãn phương trình. Công thức Pell cho biết rằng nếu (a, b) là một nghiệm nguyên của phương trình x^2 - Dy^2 = 1, thì nghiệm (x_n, y_n) tiếp theo có thể được tính bằng cách sử dụng công thức sau:
x_n = x_1 * x_{n-1} + D * y_1 * y_{n-1}
y_n = x_1 * y_{n-1} + y_1 * x_{n-1}
Với (x_1, y_1) là nghiệm đầu tiên của phương trình. Đầu tiên, ta xem x^2 - 2y^2 = 1 là một biểu thức Pell với D = 2. Ta biết rằng một nghiệm nguyên của biểu thức Pell này là (3, 2). Áp dụng công thức Pell, ta có thể tính được các nghiệm tiếp theo.

Các cặp số nguyên tố (x, y) thỏa mãn phương trình x^2 - 2y^2 = 1 là:
{(3, 2), (17, 12), (99, 70), (577, 408), (3363, 2378), ...}

Cách 2: Kiểm tra từng số nguyên dương
Một cách khác để tìm các số x, y là kiểm tra từng số nguyên dương cho x và tìm số nguyên dương thích hợp cho y, từ đó kiểm tra xem có thỏa mãn phương trình hay không.

Ta bắt đầu từ x = 1 và kiểm tra từng giá trị nguyên dương của y. Nếu phương trình x^2 - 2y^2 = 1 được thỏa mãn, ta lưu lại cặp số nguyên tố (x, y).

Các cặp số nguyên tố (x, y) thỏa mãn phương trình x^2 - 2y^2 = 1 là:
{(1, 0), (3, 2), (17, 12), (99, 70), (577, 408), (3363, 2378), ...}

Lưu ý rằng trong cách 2 này, ta bắt đầu từ (1, 0) không phải là số nguyên tố nhưng được tính như một nghiệm đầu tiên.

Để rút gọn phân số 14/42, ta cần tìm ước chung lớn nhất của 14 và 42.

1. Phương pháp 1: Tìm ước chung lớn nhất bằng cách liệt kê các ước của hai số:
- Ước của 14 là: 1, 2, 7, 14.
- Ước của 42 là: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
- Ước chung lớn nhất của 14 và 42 là 14.
- Vậy phân số 14/42 được rút gọn thành 1/3.

2. Phương pháp 2: Tìm ước chung lớn nhất bằng phép chia cho ước số chung nhỏ nhất của hai số:
- Ước số chung nhỏ nhất của 14 và 42 là 2.
- Chia cả tử số và mẫu số của phân số 14/42 cho 2, ta được phân số 7/21.
- Vậy phân số 14/42 được rút gọn thành 7/21.

Vậy câu trả lời cho câu hỏi trên là: Phân số 14/42 được rút gọn thành 1/3 hoặc 7/21.