a) Chung minh B = 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + .... + 3^2010 chia het cho 4 va 13 
Mình cảm thấy khá là lo lắng và không biết phải làm thế nào với câu hỏi này. Bạn nào thông tuệ giúp mình với, mình sẽ cảm kích mãi mãi!

Để chứng minh rằng \(B = 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + .... + 3^{2010}\) chia hết cho 4 và 13, ta có thể thực hiện như sau:

1. Chứng minh \(B\) chia hết cho 4:
Ta thấy rằng \(3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 = 3(1 + 3 + 9 + 27) = 3 \times 40\). Vì vậy, tổng \(B\) chia hết cho 4.

2. Chứng minh \(B\) chia hết cho 13:
Ta nhận thấy rằng \(3^{13} \equiv 1 \pmod{13}\) do đó:
\(B = 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + .... + 3^{2010} \equiv 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + .... + 3^{12} + 3^{13} + 3^{14} + .... + 3^{2010} \equiv 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + .... + 3^{12} + 1 + 3 + 9 + 27 + ... \pmod{13}\)
\(= 3 \times 40 + 13k + 3(1 + 3 + 9 + 27) + ....\) với \(k\) là số nguyên.
Vì vậy, \(B\) chia hết cho 13.

Vậy kết luận, \(B\) chia hết cho cả 4 và 13.

Áp dụng định lí Euler: 3^φ(13) ≡ 1 (mod 13), với φ(13) = 12, suy ra 3^12 ≡ 1 (mod 13). Từ đó, chúng ta có thể chứng minh B chia hết cho 13.

Để chứng minh B chia hết cho 13, ta cần chứng minh rằng B ≡ 0 (mod 13) hoặc B ≡ 13 (mod 13).

Nếu xem xét 3^2011 = 3 * 9^1005, ta thấy rằng 9^1005 chắn chia hết cho 4 vì 9 = 2 * 4 + 1. Vậy 3^2011 chia hết cho 4, từ đó suy ra B chia hết cho 4.

Để chứng minh B chia hết cho 4, ta cần chứng minh rằng B chia hết cho 2 và chia hết cho 2 lần nữa. Đối với B = (3^2011 - 3) / 2, ta thấy rằng tử số chia hết cho 2. Vậy ta cần chứng minh rằng 3^2011 chia hết cho 4.