Cho 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc đường tròn (O) và M là điểm nằm trong (O). Chứng minh các trung điểm của các đoạn thẳng MA,MB,MC,MD nằm trên cùng một đường tròn.

Đỗ Huỳnh Giang

Để chứng minh rằng các trung điểm của các đoạn thẳng MA, MB, MC, MD nằm trên cùng một đường tròn, ta có thể sử dụng phương pháp sử dụng hình họa.
Phương pháp giải:
1. Vẽ đường tròn (O) và các điểm A, B, C, D trên đường tròn theo thứ tự.
2. Vẽ đoạn thẳng MA và lấy trung điểm N.
3. Vẽ đường thẳng qua trung điểm N song song với đường thẳng AC, cắt đường tròn (O) tại điểm E. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng DE.
4. Dùng tính chất của khối tứ giác điều hòa: (M, A, E, D) để suy ra AM.AE = AD.AM = AN.AI. Vậy tứ giác ANIE là một tứ giác điều hòa.
5. Tương tự, từ BE tiếp tuyến tại E' đến đường tròn (O), lấy G là trung điểm của đoạn thẳng ME'. Vậy tứ giác KM'IE' cũng là một tứ giác điều hòa.
6. Ta sẽ chứng minh rằng các điểm N, I, G nằm trên cùng một đường tròn.
7. Giả sử đường tròn (NIG) cắt đường thẳng AB tại điểm P và Q.
8. Ta sẽ chứng minh rằng P = Q. Vì N là trung điểm của đoạn thẳng AM nên PN // AC.
9. Tương tự, đoạn thẳng GI // AB.
10. Vì thế ta có PN // GI // AC // AB.
11. Vậy P = Q. Từ đó suy ra N, I, G nằm trên cùng một đường tròn.
12. Suy ra các trung điểm của các đoạn thẳng MA, MB, MC, MD nằm trên cùng một đường tròn đã được chứng minh.

Câu trả lời cho câu hỏi trên là: các trung điểm của các đoạn thẳng MA, MB, MC, MD nằm trên cùng một đường tròn.