Phát biểu các điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: \(y= -x^3 + 2x^2 – x – 7\) \(y=\dfrac{x-5}{1-x}\)  
Xin chào cả nhà, mình đang làm một dự án và vướng mắc một vấn đề nan giải. Bạn nào có thể đóng góp ý kiến để giúp mình vượt qua không?

Để xác định điều kiện đồng biến, nghịch biến của một hàm số, ta cần tính đạo hàm của hàm số đó và xác định dấu của đạo hàm trên từng khoảng xác định.

1. Hàm số y = -x^3 + 2x^2 - x - 7:
- Tính đạo hàm của hàm số: y' = -3x^2 + 4x - 1
- Để xác định điều kiện đồng biến, nghịch biến, ta giải phương trình y' = 0:
-3x^2 + 4x - 1 = 0
Suy ra x = -1 hoặc x = 1/3
- Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng: (-∞, -1), (-1, 1/3), (1/3, +∞)

2. Hàm số y = (x - 5)/(1 - x):
- Tính đạo hàm của hàm số: y' = (1 - x + x)/(1 - x)^2 = -1/(1 - x)^2
- Để xác định điều kiện đồng biến, nghịch biến, ta thấy rằng hàm số chỉ có thể đồng biến trên toàn bộ miền xác định vì dấu của đạo hàm không thay đổi.

Vậy:
1. Hàm số y = -x^3 + 2x^2 - x - 7 đồng biến trên khoảng (-∞, -1) và (1/3, +∞), nghịch biến trên khoảng (-1, 1/3).
2. Hàm số y = (x - 5)/(1 - x) đồng biến trên toàn bộ miền xác định.

Để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = -x^3 + 2x^2 - x - 7, ta cần xác định dấu của đạo hàm của hàm số và giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị. Sau đó, kiểm tra dấu của đạo hàm trên các khoảng giữa các điểm cực trị để xác định các khoảng đơn điệu.

Để hàm số nghịch biến trên một khoảng xác định, ta cần xác định dấu của đạo hàm của hàm số trên khoảng đó. Nếu đạo hàm không dương trên khoảng đó thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Để hàm số đồng biến trên một khoảng xác định, ta cần xác định dấu của đạo hàm của hàm số trên khoảng đó. Nếu đạo hàm không âm trên khoảng đó thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.

Để giải bài toán trên, ta sẽ gọi số viên kẹo ban đầu trong hộp là \( x \).

Theo đề bài, sau khi chia 2/5 số kẹo, số kẹo còn lại trong hộp là \( \frac{3x}{5} \), sau đó bác Ba mua thêm 46 viên kẹo nữa. Vậy số kẹo cuối cùng trong hộp là \( \frac{3x}{5} + 46 \).

Theo điều kiện của bài toán, ta có phương trình: \( \frac{10}{9}x = \frac{3x}{5} + 46 \).

Giải phương trình trên, ta được \( x = 405 \).

Vậy số viên kẹo ban đầu trong hộp là 405 viên.

Đáp án: Số viên kẹo ban đầu trong hộp là 405 viên.