câu giành co ctv a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x3+3x2-4 b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn. c) Chứng minh rằng điểm uốn làm tâm đối xứng của đồ thị.

Đỗ Văn Long

Để giải câu hỏi trên, ta tiến hành như sau:

a) Để khảo sát hàm số, ta cần tìm các điểm xác định, điểm phân biệt, giới hạn và sự biến thiên của hàm số.

- Điểm xác định của hàm số là các giá trị của x mà hàm số được xác định. Trong trường hợp này, hàm số được xác định cho mọi giá trị của x, vậy điểm xác định là R.

- Điểm phân biệt của hàm số là các giá trị của x mà hàm số không giống nhau. Ta cần giải phương trình x^3 + 3x^2 -4 = 0 để tìm các điểm phân biệt. Phương trình này không thể giải được bằng phương pháp giải phương trình đúc, vậy ta cần tìm các nghiệm gần đúng bằng phương pháp đồ thị hoặc công thức ước lượng. Sau khi tìm được các nghiệm gần đúng x≈ -4.73, x≈ 0.464 và x≈ 3.27, ta có các điểm phân biệt là -4.73, 0.464 và 3.27.

- Để tìm giới hạn của hàm số khi x tiến đến vô cùng, ta xem xét hệ số của các thành phần chính của hàm số. Trong trường hợp này, khi x tiến đến vô cùng, x^3 và 3x^2 sẽ giống nhau về độ lớn và chiếm ưu thế, vậy giới hạn của hàm số khi x tiến đến vô cùng sẽ là +/- ∞.

- Để tìm sự biến thiên của hàm số, ta xem xét sự thay đổi của các thành phần chính khi x thay đổi. Trong trường hợp này, x^3 thay đổi khác biệt với 3x^2, vậy sự biến thiên của hàm số sẽ phụ thuộc vào sự biến thiên của x^3. Ta có x^3 là một đa thức bậc lẻ, vậy hàm số sẽ là hàm số lẻ. Khi x tiến dần đến -∞, hàm số giảm dần, khi x tiến dần đến +∞, hàm số tăng dần.

- Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ đồ thị của hàm số y = x^3 + 3x^2 -4.

b) Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn, ta cần tìm đạo hàm của hàm số và gọi m là đạo hàm tại điểm uốn. Sau đó, ta sử dụng phương trình của một tiếp tuyến để tìm phương trình tiếp tuyến.

- Đạo hàm của hàm số y = x^3 + 3x^2 -4 là y' = 3x^2 + 6x.

- Ta cần tìm điểm uốn của đồ thị, tức là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y' = 0. Giải phương trình 3x^2 + 6x = 0, ta được x = -2 và x = 0. Vậy điểm uốn là (0,-4).

- Đện tích đường tiếp tuyến có dạng y = mx + c, trong đó m là đạo hàm tại điểm uốn và (0,-4) là điểm trên tiếp tuyến. Thay vào, ta có -4 = m*0 + c, tức là c = -4.

- Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn là y = mx - 4.

c) Để chứng minh rằng điểm uốn làm tâm đối xứng của đồ thị, ta cần chứng minh rằng phương trình tiếp tuyến cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ là gấp đôi hoành độ điểm cắt trục hoành gần nhất với điểm uốn.

- Điểm uốn (0,-4) là điểm xuất hiện trong phương trình tiếp tuyến y = mx - 4, nghĩa là đối xứng qua trục tung.

- Điểm cắt trục hoành gần nhất của tiếp tuyến với trục hoành là (d,0), ta cần chứng minh rằng d = 2*0 = 0.

- Thay x = d vào phương trình tiếp tuyến, ta được 0 = md - 4.

- Điển đồ thị cắt trục hoành gần nhất với điểm uốn, nghĩa là d= 0.

- Vậy điểm uốn làm tâm đối xứng của đồ thị.