Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) $\sin ^{4} x+\cos ^{4} x=1-2 \sin ^{2} x \cdot \cos ^{2} x$. b) $\dfrac{1+\cot x}{1-\cot x}=\dfrac{\tan x+1}{\tan x-1}$. c) $\dfrac{\cos x+\sin x}{\cos ^{3} x}=\tan ^{3} x+\tan ^{2} x+\tan x+1$.
Xin chào, mình biết mọi người đều bận rộn, nhưng mình rất cần một ít sự giúp đỡ. Có ai đó có thể hướng dẫn mình cách giải đáp câu hỏi này được không?

{
"content1": "a) Ta có công thức $\sin^{2} x+\cos^{2} x=1$. Thay $\sin^{2} x=1-\cos^{2} x$ vào biểu thức cần chứng minh ta được: $\sin^{4} x+\cos^{4} x=(1-\cos^{2} x)^{2}+\cos^{4} x=1-2\cos^{2} x+\cos^{4} x=1-2\cos^{2} x(1-\cos^{2} x)=1-2\sin^{2} x\cos^{2} x$.",
"content2": "b) Chúng ta có $\cot x=\frac{1}{\tan x}$. Thay vào biểu thức cần chứng minh ta được: $\frac{1+\cot x}{1-\cot x}=\frac{1+\frac{1}{\tan x}}{1-\frac{1}{\tan x}}=\frac{\frac{\tan x+1}{\tan x}}{\frac{\tan x-1}{\tan x}}=\frac{\tan x+1}{\tan x-1}$.",
"content3": "c) Chúng ta biết $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$. Thay vào biểu thức cần chứng minh ta được: $\frac{\cos x+\sin x}{\cos^{3} x}=\frac{\cos x+\frac{\sin x}{\cos x}}{\cos^{3} x}=\frac{\cos^{2} x+\sin x}{\cos^{4} x}=\frac{1+\tan x}{\cos^{4} x}=\frac{1+\tan x}{\cos^{2} x\sin^{2} x}=\tan^{3} x+\tan^{2} x+\tan x+1$.",
"content4": "Để chứng minh một cách khác, có thể sử dụng công thức đổi đơn vị hoặc sử dụng công thức bù trừ. Tuy nhiên, sử dụng công thức cơ bản của sin, cos và tan là đủ để chứng minh các đẳng thức trên."
}

a) \sin ^{4} x+\cos ^{4} x=\sin ^{4} x+\cos ^{4} x+2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} xsin4x+cos4x=sin4x+cos4x+2sin2xcos2x−2sin2xcos2x
\begin{aligned}&=\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)^{2}-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x \\&=1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x\end{aligned}​=(sin2x+cos2x)2−2sin2xcos2x=1−2sin2xcos2x​

b) \dfrac{1+\cot x}{1-\cot x}=\dfrac{1+\dfrac{1}{\tan x}}{1-\dfrac{1}{\tan x}}=\dfrac{\dfrac{\tan x+1}{\tan x}}{\dfrac{\tan x-1}{\tan x}}=\dfrac{\tan x+1}{\tan x-1}1−cotx1+cotx​=1−tanx1​1+tanx1​​=tanxtanx−1​tanxtanx+1​​=tanx−1tanx+1​

c) \dfrac{\cos x+\sin x}{\cos ^{3} x}=\dfrac{1}{\cos ^{2} x}+\dfrac{\sin x}{\cos ^{3} x}=\tan ^{2} x+1+\tan x\left(\tan ^{2} x+1\right)cos3xcosx+sinx​=cos2x1​+cos3xsinx​=tan2x+1+tanx(tan2x+1)
=\tan ^{3} x+\tan ^{2} x+\tan x+1=tan3x+tan2x+tanx+1