II. Tự luận ( 4 điểm) Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABCD đều cạnh a.
Ai ở đây giỏi về chủ đề này không ạ? Mình đang cần tìm câu trả lời và rất mong được sự giúp đỡ của các Bạn!

Để tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABCD đều cạnh a, ta có thể sử dụng phương pháp sau:

Phương pháp 1: Sử dụng hình học không gian
- Vẽ hình tứ diện ABCD đều có cạnh là a.
- KẺđường thẳng đi qua tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABCD đều, vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm I (là tâm mặt cầu).
- Ta có tam giác OIA vuông tại I, OI = R (bán kính mặt cầu), IA = R√2 (phân giác tam giác vuông).
- Ta cũng có AI = a√3/2 (theo tính chất của hình tứ diện đều).
- Từ đó, ta có R = a√6/6.

Phương pháp 2: Sử dụng hình học không gian và tính tích phân
- Lấy tọa độ cho điểm A là (0, 0, 0), B là (a, 0, 0), C là (a, a, 0), D là (0, a, 0)
- Tìm tọa độ của tâm mặt cầu O bằng cách tính trung bình cộng của 4 đỉnh A, B, C, D: O (a/2, a/2, 0)
- Áp dụng công thức tính bán kính mặt cầu từ trung tâm: R = sqrt((x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2), ta có R = a * sqrt(3)/2

Vậy, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABCD đều cạnh a là R = a√6/6 hoặc R = a * sqrt(3)/2.

Nhìn vào câu hỏi, ta cũng có thể biết rằng hình tứ diện ABCD là hình tứ diện đều, nên tâm mặt cầu cũng chính là tâm của hình tứ diện. Do đó, bán kính cầu sẽ bằng chiều cao của hình tứ diện đều. Vì chiều cao của hình tứ diện đều có giá trị R = (a√6) / 3.

Ta cũng có thể tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABCD đều theo cách vận dụng định lý cosin trong tam giác vuông. Khi đó bán kính mặt cầu sẽ bằng căn bậc hai của tổng bình phương của cạnh của hình tứ diện, R = √(a^2 + a^2) / 2 = a√2 / 2.

Đường trung tuyến của tam giác vuông tạo thành một tam giác vuông khác với bán kính của mặt cầu và nửa đường chéo của hình tứ diện ABCD đều (a/2). Áp dụng Pythagore ta có R = √(a^2 - (a/2)^2) = √(3a^2/4) = a√3 / 2.

Ta có thể tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABCD đều bằng cách vận dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông mà đường trung tuyến cắt tại tâm mặt cầu.