Cho hình tam giác ABC.Gọi M là trung điếm của AC, N là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AN =1/3 AB. Biết diện tích hình tam giác AMN là 4cm2.Tinh diện tích hình tam giác ABC

Đỗ Hồng Ánh

Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng phương pháp định lý của trung điểm và sử dụng định lý diện tích tam giác.

Phương pháp 1:
Vì M là trung điểm của AC nên ta có AM = MC.
Vì AN = 1/3 AB nên ta có MN = AB - AN = AB - 1/3 AB = 2/3 AB.
Vì diện tích tam giác AMN bằng 4cm2, ta có AM * MN * sin(AMN) = 4.
Thay giá trị vào, ta có AM * (2/3 AB) * sin(AMN) = 4.
Vì AM = MC, ta có AC/2 * (2/3 AB) * sin(AMN) = 4. (1)
Vì N là trên đoạn AB nên diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác AMN cộng thêm diện tích tam giác ABN.
Ta cần tìm diện tích tam giác ABN. Vì ABN là tam giác cân với N nằm trên cạnh AB nên ta có diện tích tam giác ABN bằng 1/2 diện tích tam giác ABC.
Vì AMN là tam giác cân với MN tạo thành góc nội tiếp ABC nên ta có diện tích tam giác AMN bằng 1/4 diện tích tam giác ABC.
Từ đó, ta có (1/2 diện tích tam giác ABC) + (1/4 diện tích tam giác ABC) = 4.
Ta giải phương trình trên để tìm diện tích tam giác ABC.

Phương pháp 2:
Vì M là trung điểm của AC nên ta có AM = MC.
Vì AN = 1/3 AB nên ta có MN = AB - AN = AB - 1/3 AB = 2/3 AB.
Vì diện tích tam giác AMN bằng 4cm2, ta có diện tích tam giác AMN = (1/2) AM * MN * sin(AMN) = 4.
Thay giá trị vào, ta có (1/2) AM * (2/3 AB) * sin(AMN) = 4.
Vì AM = MC, ta có (1/2) AC/2 * (2/3 AB) * sin(AMN) = 4. (2)
Với N là trên đoạn AB, ta có AM = MN = NC = AB/3.
Áp dụng công thức diện tích tam giác ABC khi biết 3 cạnh, ta có diện tích tam giác ABC = (1/4) AB^2 * sin(ABC).
Thay giá trị vào, ta có diện tích tam giác ABC = (1/4) (AB^2/9) * sin(ABC).

Kết quả:
Phương pháp 1: Từ phương trình (1), giải phương trình để tính được diện tích tam giác ABC.
Phương pháp 2: Từ phương trình (2), giải phương trình để tính được diện tích tam giác ABC.