Cho \(\sqrt{x^2-5x+14}-\sqrt{x-5x+10}=2\) Tính \(M=\sqrt{x^2-5x+14}+\sqrt{x^2-5x+10}\)
Hey cả nhà, mình đang bí bách quá, có ai có thể bỏ chút thời gian giúp mình với câu hỏi này được không?

Để giải câu hỏi trên, ta có thể làm như sau:

Đặt \( y = \sqrt{x^2-5x+14} \) và \( z = \sqrt{x^2-5x+10} \).

Ta có hệ phương trình:

\( \begin{cases} y - z = 2 \\ y^2 - z^2 = 4 \end{cases} \)

Từ \( y^2 - z^2 = (y+z)(y-z) \), suy ra \( y+z = 4 \) hoặc \( y+z = -4 \).

Xét trường hợp \( y+z = 4 \):

\( M = y+z = 4 \).

Nếu xét trường hợp \( y+z = -4 \), ta thấy không thể có giá trị âm cho hàm căn, nên chỉ giá trị \( M = 4 \) là đúng.

Vậy \( M = 4 \) là kết quả của bài toán.

Để giải bài toán trên, ta thực hiện các bước sau:

Đặt \(y = \sqrt{x^2-5x+14}\), ta có \(y-\sqrt{x-5x+10}=2\).

Từ đó, suy ra \(y^2 = x^2-5x+14\) và \((y-2)^2 = x^2-5x+10\).

Dựa vào hai phương trình trên, ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases} y^2 = x^2-5x+14 & (1) \\ (y-2)^2 = x^2-5x+10 & (2) \end{cases}\).

Giải hệ phương trình trên, ta tính được \(y = 6\) hoặc \(y = 1\).

Khi \(y = 6\), ta được \(M = y + \sqrt{x^2-5x+10} = 6 + \sqrt{x^2-5x+10}\).

Khi \(y = 1\), ta được \(M = y + \sqrt{x^2-5x+10} = 1 + \sqrt{x^2-5x+10}\).

Do đó, \(M\) có thể bằng \(6 + \sqrt{x^2-5x+10}\) hoặc \(1 + \sqrt{x^2-5x+10}\).

{
"content1": "Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng phương pháp đặt một biến tạm thời. Gọi \(y = \sqrt{x^2-5x+14}\), ta có \(y - \sqrt{x-5x+10} = 2\). Từ đó, ta tính được giá trị của \(y\). Sau đó, substitude lại giá trị của \(y\) vào \(M=\sqrt{x^2-5x+14}+\sqrt{x^2-5x+10}\) để tính được giá trị của \(M\).",
"content2": "Cách giải khác, ta có thể sử dụng công thức \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\). Áp dụng công thức này vào biểu thức \(M\) ta sẽ thu được một biểu thức mới dễ tính hơn.",
"content3": "Một cách tiếp cận khác, ta có thể sử dụng công thức \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\) để biến đổi biểu thức và giải bài toán."
}