cho a,b,c >0 và 1/1+a +1/1+b +1/1+c =2 tìm giá trị lớn nhất của abc
Chào mọi người, mình đang gặp chút rắc rối. Có ai có thể dành chút thời gian để giúp mình giải đáp câu hỏi này không?

Điều kiện đã cho

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+a}=\left(1-\dfrac{1}{1+b}\right)+\left(1-\dfrac{1}{1+c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+a}=\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+a}=\dfrac{b+c+2bc}{bc+b+c+1}\)

\(\Leftrightarrow bc+b+c+1=b+c+2bc+ab+ac+2abc\)

\(\Leftrightarrow2abc+ab+bc+ca=1\)

Mà \(ab+bc+ca\ge3\left(\sqrt[3]{abc}\right)^2\)

\(\Rightarrow2abc+3\left(\sqrt[3]{abc}\right)^2\le1\)

Đặt \(\sqrt[3]{abc}=t\left(t\ge0\right)\), khi đó \(2t^3+3t^2\le1\) 

\(\Leftrightarrow\left(t+1\right)^2\left(2t-1\right)\le0\)

Do \(\left(t+1\right)^2\ge0\) nên \(2t-1\le0\) \(\Leftrightarrow t\le\dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow abc\le\dfrac{1}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)