Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \tan x\) tại điểm \({x_0} =  - \frac{\pi }{6}\)
các Bạn ơi, mình đang bí bài này quá, ai giỏi giúp mình với! Cảm ơn cả nhà

Để tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = \tan x\) tại điểm \({x_0} = -\frac{\pi}{6}\), ta sử dụng định nghĩa của đạo hàm:

Đạo hàm của hàm số \(f(x)\) tại điểm \({x_0}\) được tính bằng công thức: \[f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\]

Ứng dụng vào bài toán của chúng ta, ta có:
\[f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{\tan(-\frac{\pi}{6} + h) - \tan(-\frac{\pi}{6})}{h}\]

Để giải bài toán này, ta có thể chia làm 2 cách:
Cách 1: Sử dụng công thức đạo hàm của hàm tan(x).
Cách 2: Sử dụng định nghĩa hàm tan(x).

Bạn có thể tham khảo cách giải chi tiết dưới đây để hiểu rõ hơn:

Cách 1:
\[f'(x) = \sec^2 x\]
Tại \({x_0} = -\frac{\pi}{6}\), ta có:
\[f'(-\frac{\pi}{6}) = \sec^2 (-\frac{\pi}{6}) = 4\]

Vậy đạo hàm của hàm số \(f(x) = \tan x\) tại điểm \({x_0} = -\frac{\pi}{6}\) là 4.

Cách 2:
Ta biết rằng \(\tan(-x) = -\tan x\), suy ra \(\tan(-\frac{\pi}{6}) = -\tan(\frac{\pi}{6}) = -\tan 30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Áp dụng định nghĩa \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\), ta có:
\[\tan(-\frac{\pi}{6} + h) = \frac{\sin(-\frac{\pi}{6} + h)}{\cos(-\frac{\pi}{6} + h)} = \frac{-\sin(\frac{\pi}{6} - h)}{\cos(\frac{\pi}{6} - h)} = -\frac{\sin(\frac{\pi}{6} - h)}{\cos(\frac{\pi}{6} - h)}\]
Áp dụng định lý l'Hospital, ta được:
\[f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{\tan(-\frac{\pi}{6} + h) - \tan(-\frac{\pi}{6})}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-\frac{\sin(\frac{\pi}{6} - h)}{\cos(\frac{\pi}{6} - h)} + \frac{1}{\sqrt{3}}}{h}\]

Qua đó có thể tính được đạo hàm tại \({x_0}\).

Chúc bạn thành công!

Đạo hàm của hàm số f(x) = tanx là f'(x) = sec^2x. Tại điểm x0 = -π/6, ta có f'(-π/6) = sec^2(-π/6) = 1/(cos(-π/6))^2 = 1/(cos(-30°))^2 = 4.

Đạo hàm của hàm số f(x) = tanx là f'(x) = sec^2x. Tại điểm x0 = -π/6, ta có f'(-π/6) = sec^2(-π/6) = 1/cos^2(-π/6) = 1/(1/4) = 4.

Đạo hàm của hàm số f(x) = tanx là f'(x) = sec^2x. Tại điểm x0 = -π/6, ta có f'(-π/6) = sec^2(-π/6) = sec^2(-30°) = sec^2(-π/6) = 4.