Bài 21 (trang 111 SGK Toán 9 Tập 1) Cho tam giác $ABC$ có $AB = 3$, $AC = 4$, $BC = 5$. Vẽ đường tròn $(B; BA)$. Chứng minh rằng $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn.
Xin chào mọi người, mình mới tham gia và đang cần sự giúp đỡ để giải đáp một câu hỏi. Có ai có thể dành chút thời gian không?

Sử dụng tính chất của tam giác vuông: Gọi E là trung điểm của cạnh AB. Ta có AE=EB=AB/2=1.5. Vậy AE là đường trung tuyến của tam giác ABC. Khi đó, ta có $AE^2=AC.BC=3.4=12=CE^2$. Do đó tam giác AEC là tam giác vuông và theo định lý tiếp tuyến trong tam giác vuông, ta có AC là tiếp tuyến của đường tròn.

Theo định lí hình học: Trong một tam giác vuông, đường phân giác của góc vuông là đường trung tuyến của tam giác. Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A nên đường phân giác của góc B là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, AC là đường trung tuyến của tam giác ABC và thỏa mãn điều kiện là tiếp tuyến của đường tròn.

Sử dụng tính chất của tam giác vuông: Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Ta có AM=MC=BC/2=2.5. Vậy AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Khi đó, ta có $AM^2=AB.AC=3.4=12=BM^2$. Do đó tam giác ABM là tam giác vuông và theo định lý tiếp tuyến trong tam giác vuông, ta có AC là tiếp tuyến của đường tròn.

Sử dụng định lý Pitago: Ta có AC^2=3^2+4^2=25=BC^2. Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Khi đó đường trung tuyến từ đỉnh vuông đến cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Với tam giác vuông ABC, đường trung tuyến từ A đến BC có độ dài là 2.5.

Sử dụng định lí hình học: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến tới đỉnh vuông bằng nửa chu vi của tam giác. Với tam giác vuông ABC có BC là cạnh huyền, nửa chu vi AB+AC+BC/2=6.5. Vậy độ dài đường trung tuyến từ A đến BC là 6.5/2=3.25.