Cho a,b,c>0 và a^2+b^2+c^2=3. chứng minh a/(a^2+2b+3) +b/(b^2+2c+3) + c/(c^2+2a+3) nhỏ hơn bằng 1/2?
Mọi người thân mến, mình đang cảm thấy bế tắc quá. Bạn nào tốt bụng có thể nhân lúc rảnh rỗi giúp mình với câu hỏi này được không?

Để giải câu hỏi trên, chúng ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
(a/(a^2+2b+3) + b/(b^2+2c+3) + c/(c^2+2a+3))[(a(a^2+2b+3) + b(b^2+2c+3) + c(c^2+2a+3))] ≥ (a + b + c)^2.

Ta cần chứng minh rằng điều kiện bên dưới của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được thỏa mãn, tức là mẫu số phải lớn hơn 0:
a(a^2+2b+3) + b(b^2+2c+3) + c(c^2+2a+3) > 0,
⇔ a^3 + 2ab + 3a + b^3 + 2bc + 3b + c^3 + 2ca + 3c > 0,
⇔ a(a^2+3) + b(b^2+3) + c(c^2+3) + 2ab + 2bc + 2ca > 0,
⇔ 3a + 3b + 3c + 2ab + 2bc + 2ca > 0,
⇔ 3(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) > 0.

Vì a^2 + b^2 + c^2 = 3 nên (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 3 + 2(ab + bc + ca).

Do đó, (a + b + c)^2 = 3 + 2(ab + bc + ca) > 0, hay (a + b + c) > 0. Vậy điều kiện của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được thỏa mãn.

Suy ra, từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
(a/(a^2+2b+3) + b/(b^2+2c+3) + c/(c^2+2a+3))^2 * [(a(a^2+2b+3) + b(b^2+2c+3) + c(c^2+2a+3))] ≤ (a + b + c)^2,
⇔ (a/(a^2+2b+3) + b/(b^2+2c+3) + c/(c^2+2a+3))^2 * [3(a + b + c)] ≤ (a + b + c)^2,
⇔ (a/(a^2+2b+3) + b/(b^2+2c+3) + c/(c^2+2a+3))^2 * 3 ≤ a + b + c,
⇔ a/(a^2+2b+3) + b/(b^2+2c+3) + c/(c^2+2a+3) ≤ (a + b + c)/3.

Ta có a^2 + b^2 + c^2 = 3, do đó (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 3 + 2(ab + bc + ca) ≥ 3, hay a + b + c ≥ √3.

Vậy (a + b + c)/3 ≤ (√3)/3 = √3/3 < 1/2.

Vậy ta đã chứng minh được rằng a/(a^2+2b+3) + b/(b^2+2c+3) + c/(c^2+2a+3) nhỏ hơn hoặc bằng 1/2.

Để giải bài toán trên, ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh bằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau:

Bài toán yêu cầu chứng minh:
a/(a^2+2b+3) +b/(b^2+2c+3) + c/(c^2+2a+3) ≤ 1/2

Ta có điều kiện a,b,c > 0 và a^2+b^2+c^2=3

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
(a^2 + b^2 + c^2)(a^2 + 1 + 1) ≥ (a + b + c)^2
=> (3)(a^2 + 2) ≥ (a + b + c)^2
=> 3a^2 + 6 ≥ (a + b + c)^2

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
(a + b + c)^2 ≥ 3(ab + bc + ca)
=> (a + b + c)^2/3 ≥ ab + bc + ca
=> 3(a + b + c)^2/3 ≥ 3(ab + bc + ca)
=> 3a^2 + 6 ≥ 3(ab + bc + ca)
=> a^2 + 2 ≥ ab + bc + ca

Sử dụng kết quả trên, ta có:
a/(a^2+2b+3) +b/(b^2+2c+3) + c/(c^2+2a+3)
= a/(a^2 + 2b + a^2 + 1 + 2) + b/(b^2 + 2c + b^2 + 1 + 2) + c/(c^2 + 2a + c^2 + 1 + 2)
≤ a/(2a^2 + 2) + b/(2b^2 + 2) + c/(2c^2 + 2)
= 1/2(a/a^2 + 1) + 1/2(b/b^2 + 1) + 1/2(c/c^2 + 1)
= 1/2(1/a + 1/b + 1/c)
= 1/2(a^2 + b^2 + c^2)/(abc)
= 1/2(3)/(abc)
= 1/(2abc)

Do đó, ta đã chứng minh được điều phải chứng minh. Đây chính là câu trả lời cho câu hỏi ban đầu.

Đặt S = a/(a^2+2b+3) + b/(b^2+2c+3) + c/(c^2+2a+3). Áp dụng công thức đạo hàm, chứng minh S ≤ 1/2 bằng cách tìm cực trị của hàm số S.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có a^2+2b+3 ≥ 2√(2ab), b^2+2c+3 ≥ 2√(2bc), c^2+2a+3 ≥ 2√(2ca). Thay vào biểu thức cần chứng minh và rút gọn.

Ta có a^2+b^2+c^2=3, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: (a^2+2b+3)(1+1+k^2) ≥ (a+√(2b)+k√3)^2, với k là hằng số. Tương tự với các biểu thức còn lại.