Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:            \(x^3-1+m\left(x-1\right)=0\)
Mình cảm thấy hơi mắc kẹt và không chắc làm thế nào để tiếp tục làm câu hỏi này. Ai có thể giành chút thời gian để giúp mình với được không?

Để tìm giá trị của m sao cho phương trình \(x^3-1+m(x-1)=0\) có 3 nghiệm phân biệt, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đặt phương trình với dạng chính tắc:
\(x^3 + mx - m - x + 1 = 0\)

Bước 2: Áp dụng công thức Viète cho phương trình bậc 3:
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
\(m = -(x_1 + x_2 + x_3)\)
\(m = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3\)
\(m = -x_1x_2x_3\)

Bước 3: Tìm các giá trị của x1, x2, x3.
Để ý rằng phương trình \(x^3 + mx - m - x + 1 = 0\) có dạng \(Ax^3 + Bx + C = 0\), với \(A = 1, B = m - 1, C = -m + 1\). Áp dụng công thức Cardano, ta có:
\(x_1 = \sqrt[3]{\frac{-B}{2} + \sqrt{\frac{B^2}{4} - \frac{C^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{-B}{2} - \sqrt{\frac{B^2}{4} - \frac{C^3}{27}}}\)
\(x_2 = \omega\sqrt[3]{\frac{-B}{2} + \sqrt{\frac{B^2}{4} - \frac{C^3}{27}}}\) (1)
\(x_3 = \omega^2\sqrt[3]{\frac{-B}{2} + \sqrt{\frac{B^2}{4} - \frac{C^3}{27}}}\) (2)

Trong đó, \(\omega = e^{i\frac{2\pi}{3}}\) là căn bậc ba của 1.

Bước 4: Thay các giá trị x1, x2, x3 vào công thức tìm m:
\(m = -(x_1 + x_2 + x_3)\)
\(m = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3\)
\(m = -x_1x_2x_3\)

Bước 5: Trả về cụm giá trị m thu được dạng JSON:

{
"content1": giá trị m thỏa điều kiện 1,
"content2": giá trị m thỏa điều kiện 2,
"content3": giá trị m thỏa điều kiện 3
}

Lưu ý: Để tìm giá trị xấp xỉ cho các căn bậc ba, có thể sử dụng máy tính hoặc phần mềm giải toán.