Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \) trong mỗi trường hợp sau: a)     \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) b)     \(\cos \alpha  =  - \frac{2}{3}\) với \( - \pi  < \alpha  < 0\) c)     \(\tan \alpha  = 3\) với \( - \pi  < \alpha  < 0\) d)     \(\cot \alpha  =  - 2\) với \(0 < \alpha  < \pi \)
Hi cả nhà! Mình đang hơi loay hoay với một câu hỏi khó nhằn. Bạn nào nhẹ nhàng, kiên nhẫn giúp mình với được không? Cảm ơn tất cả rất nhiều!

Để tình các giá trị lượng giác của góc alpha trong các trường hợp trên, ta có thể sử dụng các quy tắc cơ bản của lượng giác học:

a) Ta có \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}\) và góc \(\alpha\) thuộc góc phần tư thứ tư (\(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\)). Từ đó, ta có \(\cos \alpha = \sqrt{1 - (\sin \alpha)^2} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2} = \frac{1}{4}\). Vậy giá trị của \(\cos \alpha\) là \(\frac{1}{4}\).

b) Ta có \(\cos \alpha = -\frac{2}{3}\) và góc \(\alpha\) thuộc góc phần tư thứ tư (\(-\pi < \alpha < 0\)). Ta có \(\sin \alpha = \sqrt{1 - (\cos \alpha)^2} = \sqrt{1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^2} = -\frac{\sqrt{5}}{3}\). Vậy giá trị của \(\sin \alpha\) là \(-\frac{\sqrt{5}}{3}\).

c) Ta có \(\tan \alpha = 3\) và góc \(\alpha\) thuộc góc phần tư thứ tư (\(-\pi < \alpha < 0\)). Từ đó, ta có \(\alpha = \arctan 3 = -\frac{\pi}{4}\). Vậy giá trị của \(\alpha\) là \(-\frac{\pi}{4}\).

d) Ta có \(\cot \alpha = -2\) và góc \(\alpha\) thuộc góc phần tư thứ hai (\(0 < \alpha < \pi\)). Ta có \(\alpha = \arccot (-2) = \arctan \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{7\pi}{4}\). Vậy giá trị của \(\alpha\) là \(\frac{7\pi}{4}\).

Vậy các giá trị lượng giác của góc alpha trong các trường hợp trên lần lượt là:
a) \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}, \cos \alpha = \frac{1}{4}\)
b) \(\cos \alpha = -\frac{2}{3}, \sin \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}\)
c) \(\alpha = -\frac{\pi}{4}\)
d) \(\alpha = \frac{7\pi}{4}\)

{
"answer1": "a) Ta có \(\alpha = \arcsin(\frac{\sqrt{15}}{4})\) với \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Khi đó \(\alpha = \arcsin(\frac{\sqrt{15}}{4}) = \frac{5\pi}{6}\). Vậy giá trị của góc \(\alpha\) là \(\frac{5\pi}{6}\).",
"answer2": "b) Ta có \(\alpha = \arccos(-\frac{2}{3})\) với \(-\pi < \alpha < 0\). Khi đó \(\alpha = \arccos(-\frac{2}{3}) = \frac{5\pi}{6}\). Vậy giá trị của góc \(\alpha\) là \(\frac{5\pi}{6}\).",
"answer3": "c) Ta có \(\alpha = \arctan(3)\) với \(-\pi < \alpha < 0\). Khi đó \(\alpha = \arctan(3) = \frac{\pi}{4}\). Vậy giá trị của góc \(\alpha\) là \(\frac{\pi}{4}\)."
}