nếu 1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z) thì 1/x^2016 + 1/y^2016 + 1/z^2016 =1/(x^2016+y^2016+z^2016)
Có ai có thể hướng dẫn tôi qua trở ngại này không? Tôi đang hơi lúng túng và cần một lời khuyên.

Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh bằng đường đi của Nien.

Giả sử \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x+y+z} \) và chứng minh rằng \( \frac{1}{x^{2016}} + \frac{1}{y^{2016}} + \frac{1}{z^{2016}} = \frac{1}{x^{2016}+y^{2016}+z^{2016}} \).

Ta dễ dàng nhận thấy rằng \( x, y, z \) khác không vì nếu có một trong ba số đó bằng 0, thì phương trình sẽ không còn đúng.

Ta có thể nhân cả hai vế của phương trình ban đầu với \( x \cdot y \cdot z \cdot (x+y+z) \) ta được:
\( \frac{x+y+z}{x} \cdot \frac{x+y+z}{y} \cdot \frac{x+y+z}{z} = 1 \).

Mở rộng phương trình này ra ta nhận ra rằng \( x+y+z, \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}, \frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z}, \frac{z}{x} + \frac{x}{y} + \frac{y}{z} \) tạo thành một chu kỳ lặp lại bạn tại N > 1.

Như vậy, ta có thể chứng minh cho binh luận bên trên để có được câu trả lời cho bài toán đã đề ra.

Do đó, ta chứng minh được rằng nếu 1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z) thì 1/x^2016 + 1/y^2016 + 1/z^2016 = 1/(x^2016 + y^2016 + z^2016).

Ta nhận thấy rằng (xy + xz + yz)/(x + y + z) = 1. Vì vậy, ta có (xy + xz + yz)^2016/(x + y + z)^2016 = 1. Kết hợp với các công thức ở trên, ta suy ra được biểu thức cần chứng minh bằng 1, tức là 1/(x^2016 + y^2016 + z^2016) = 1.

Khi đó, ta cần chứng minh biểu thức sau: (xy + xz + yz)^2016/(x + y + z)^2016 + (xy + xz + yz)^2016/(x + y + z)^2016 + (xy + xz + yz)^2016/(x + y + z)^2016 = 1/(x^2016 + y^2016 + z^2016).

Tương tự, ta có: 1/y = (x + y + z)/(xy + xz + yz) và 1/z = (x + y + z)/(xy + xz + yz). Thay vào biểu thức cần chứng minh, ta có 1/y^2016 = (xy + xz + yz)^2016/(x + y + z)^2016 và 1/z^2016 = (xy + xz + yz)^2016/(x + y + z)^2016.