Chứng minh rằng: (n3-n) chia hết cho 3 với n thuộc N Đăng cho vui... ^^
Có ai ở đây rành về vấn đề này không nhỉ? Mình thật sự cần một tay giúp để giải quyết nó, Bạn nào có thể giúp được không?

Phương pháp giải 1: Ta có thể sử dụng định lí Euclid để chứng minh. Chia 3 trường hợp là n chia hết cho 3, n chia 3 dư 1 và n chia 3 dư 2.

- Trường hợp 1: n chia hết cho 3, tức n = 3k với k thuộc N. Khi đó n^3 - n = 27k^3 - 3k = 3(9k^3 - k) chia hết cho 3.

- Trường hợp 2: n chia 3 dư 1, tức n = 3k + 1 với k thuộc N. Khi đó n^3 - n = (3k + 1)^3 - (3k + 1) = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 - 3k - 1 = 3(9k^3 + 9k^2 + 3) chia hết cho 3.

- Trường hợp 3: tương tự như trường hợp 2, ta chứng minh được khi n chia 3 dư 2, thì n^3 - n chia hết cho 3.

Do đó, suy ra (n^3 - n) chia hết cho 3 với mọi n thuộc N.

Câu trả lời: Đúng.

Kết luận: Đã chứng minh rằng (n^3 - n) chia hết cho 3 với mọi n thuộc N, bằng cách sử dụng định lí tổ hợp của số học và phân tích từng trường hợp.

Như vậy, dù cho n thuộc vào trường hợp nào trong ba trường hợp trên, ta cũng đều có kết quả là (n^3 - n) chia hết cho 3. Điều này đã được chứng minh và đúng với mọi n thuộc N.

Trường hợp 3: n = 3k + 2 với k là số nguyên dương. Khi đó (n^3 - n) = (3k + 2)^3 - (3k + 2) = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8 - 3k - 2 = 27k^3 + 54k^2 + 33k + 6 = 3(9k^3 + 18k^2 + 11k + 2). Vì vậy, (n^3 - n) chia hết cho 3.

Trường hợp 2: n = 3k + 1 với k là số nguyên dương. Khi đó (n^3 - n) = (3k + 1)^3 - (3k + 1) = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 - 3k - 1 = 27k^3 + 27k^2 + 6k = 3(9k^3 + 9k^2 + 2k). Vì vậy, (n^3 - n) chia hết cho 3.