Chotam giác ABC không vuông tại A ,AM là trung tuyến .Gọi D là một điểm di động trên đường thẳng AM .Gọi D là 1 điểm di động trên đường thẳng AM .(O1),(O2) là các đường tròn đi qua điểm D , tiếp xúc với BC lần lượt tại B,C.Gọi P,Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với (O1),AC với (O2).CMR
a) Tiếp tuyến tại P của (O1)và tiếp tuyến tại Q của (O2) phải cắt nhau . Gọi điểm đó là S
b)Điểm S luôn di động trên 1 đường thẳng cố định khi D thay đổi
Xin lỗi mọi người đã làm phiền, nhưng mình thật sự cần sự giúp đỡ. Ai có thể dành chút thời gian để trả lời câu hỏi mình đang mắc phải không?

c) Ta có thể minh chứng rõ hơn cho câu trả lời b) bằng cách sử dụng tính chất của tam giác tỉ lệ. Gọi M' là trung điểm của AD và E là trung điểm của BC. Ta có:
- Từ AM = M'D và AH = 2AM, ta suy ra AH = 2M'D.
- Từ Định lí Đường thẳng Newton (Newton's line), ta có M', E và H thẳng hàng.
- Do đó, ta suy ra M', E và D thẳng hàng. Vậy, khi D thay đổi trên đường thẳng AM, điểm S (là điểm cắt của tiếp tuyến tại P của (O1) và tiếp tuyến tại Q của (O2)) cũng di chuyển trên đường thẳng M'H (hay AH).

b) Dựa vào câu trả lời a), ta thấy rằng S là điểm cắt của tiếp tuyến tại P của (O1) và tiếp tuyến tại Q của (O2) khi D nằm giữa A và H. Vì D và H nằm trên đường thẳng AM, nên khi D thay đổi, điểm S cũng di động trên đường thẳng cố định AH.

a) Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó, AH là đường cao của tam giác ABC. Ta có AM là trung tuyến, nên AH = 2AM. Như vậy, ta có H nằm trên đường thẳng AM. D là một điểm di động trên đường thẳng AM, nên ta có CD = DB. Khi đó, ta có hai trường hợp:
- Trường hợp 1: D nằm giữa A và H. Khi đó, BA là đường phân giác của tam giác ABC, nên AB = AC. Ta có BP = BQ (vì (O1) và (O2) tiếp xúc với BC tại B và C). Vì AB = AC và BP = BQ, nên tam giác ABP và ACQ là đồng dạng. Do đó, góc CPQ = góc BPA. Như vậy, PT là tiếp tuyến của (O1) tại P. Tương tự, QT là tiếp tuyến của (O2) tại Q. Vậy, tiếp tuyến tại P của (O1) và tiếp tuyến tại Q của (O2) cắt nhau tại điểm S.
- Trường hợp 2: D nằm ngoài đoạn AH. Khi đó, D nằm ngoài tam giác ABC, nên ta không có hai tiếp tuyến tại P của (O1) và Q của (O2). Vậy câu trả lời a) không đúng với trường hợp này.

Phương pháp giải:

Ta sẽ sử dụng các kiến thức về hình học Euclid và các tính chất của các đường tròn đi qua một điểm trên một cạnh của tam giác.

a) Ta có thể chứng minh được rằng với mỗi vị trí của điểm D, tồn tại duy nhất một đường tròn qua D và tiếp xúc với cạnh BC tại hai điểm B và C. Do đó, tồn tại hai đường tròn (O1) và (O2) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Gọi T là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến tại P của (O1) với (O1). Tương tự, gọi S là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến tại Q của (O2) với (O2).

Ta cần chứng minh rằng T, D, S thẳng hàng.

Theo tính chất của tam giác, ta có:

∠ATB = ∠ADC (cùng tiếp tuyến cắt cùng cạnh BC)
∠ATB = ∠AMB (điểm M là trung tuyến)
∠ADC = ∠AQD (điểm D nằm trên cùng đường thẳng AM)
∠AMB = ∠AQB (công bằng tiếp tuyến cắt cùng cạnh BC)

Từ đó, suy ra:

∠ATB = ∠AQB

Do đó, T, D, S thẳng hàng.

Vậy, tiếp tuyến tại P của (O1) và tiếp tuyến tại Q của (O2) cắt nhau tại một điểm trên đường thẳng TD.

b) Do điểm D di động trên đường thẳng AM, theo tính chất của các đường tròn đi qua một điểm trên cạnh tam giác, ta có: P, Q di động trên đường tròn (O1), (O2) tương ứng.

Vậy, điểm S là điểm cắt của tiếp tuyến tại P của (O1) và tiếp tuyến tại Q của (O2) di động trên một đường thẳng cố định khi D thay đổi.

Câu trả lời:
a) Tiếp tuyến tại P của (O1) và tiếp tuyến tại Q của (O2) cắt nhau tại một điểm trên đường thẳng TD, gọi điểm đó là S.
b) Điểm S luôn di động trên một đường thẳng cố định khi D thay đổi.