10, giải pt \(sin^8x+cos^8x=\frac{17}{16}cos^22x\)
Chào mọi người, mình đang bí bài này quá. Ai có thể giải thích giúp mình với ạ?

Phương pháp giải:

Đặt \(a = \sin^2x\) và \(b = \cos^2x\), ta có \(\sin^8x = a^4\) và \(\cos^8x = b^4\).
Thay vào phương trình, ta được:
\(a^4 + b^4 = \frac{17}{16}(1 - 2b^2 + 2b^4)\)
\(16a^4 + 16b^4 = 17 - 34b^2 + 34b^4\)
\(34b^4 - 34b^2 + 16b^4 - 16a^4 = 17\)
\(50b^4 - 34b^2 - 16a^4 = 17\)
\(50b^4 - 34b^2 - 16 + 16b^4 = 17\)
\(66b^4 - 34b^2 - 16 = 17\)
\(66b^4 - 34b^2 - 33 = 0\)

Đây là một phương trình bậc 4 trong biến b^2. Ta thu được 2 biến thế sau:
1. \(b^2 = \frac{-33}{2}\) (vô nghiệm)
2. \(b^2 = \frac{17}{3}\)

Sau khi tính toán, ta được \(b^2 = \frac{17}{3}\) tương ứng với \(\cos^2x = \frac{17}{3}\).

Từ đây, ta có thể tính được \(\sin^2x = 1 - \frac{17}{3} = \frac{-14}{3}\).

Vì \(\sin^2x\) và \(\cos^2x\) đều âm, nên không tồn tại giá trị của x để \(\sin^2x\) và \(\cos^2x\) nhận giá trị như vậy.

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm.

Giải phương trình bằng cách sử dụng công thức: sin^2x + cos^2x = 1. Thay vào phương trình ta có: sin^2x + cos^2x - sin^8x = (17/16)cos^22x. Rút gọn phương trình ta được: 1 - sin^6x = (17/16)cos^22x. Đặt tạm t = sin^2x, ta có phương trình: 1 - t^3 = (17/16)(1 - 2t + 2t^2 - 1). Rút gọn phương trình ta được: 16 - 16t^3 = 17cos^22x - 34cos^2x + 34cos^4x - 17cos^6x. Đặt u = cos^2x, ta có phương trình: 16 - 16t^3 = 17u^2 - 34u + 34u^2 - 17u^3. Rút gọn phương trình ta được: 16 - 16t^3 = 51u^2 - 51u^3 - 34u. Tiếp tục rút gọn phương trình ta có: -16t^3 + 51u^2 - 51u^3 - 34u + 16 = 0. Dùng phương pháp giải phương trình bậc 4, ta tìm được các giá trị của t và u từ đó tìm được giá trị của sin^2x và cos^2x, sau đó tìm được giá trị của x.

Giải phương trình bằng cách sử dụng công thức: cos^22x = (cos2x)^2 - (sin2x)^2 = cos^2x - sin^2x. Thay vào phương trình: sin^8x + cos^8x = (17/16)(cos^2x - sin^2x). Rút gọn phương trình ta được: (1 - cos^2x)^4 + cos^8x = (17/16)(cos^2x - 1 + cos^2x). Tiếp tục rút gọn phương trình ta được: 1 - 4cos^2x + 6cos^4x - 4cos^6x + cos^8x + cos^8x = (17/16)(2cos^2x - 1). Đặt tạm t = cos^2x, ta có phương trình: 2t^4 - 4t^3 + 6t^2 - 4t + 1 + t^4 = (17/8)(2t - 1). Rút gọn phương trình ta được: 3t^4 - 4t^3 + 6t^2 - 4t + 1 = (17/4)t - 17/8. Tiếp tục rút gọn phương trình ta có: 3t^4 - 4t^3 + 6t^2 + (-4 - 17/4)t + 1 + 17/8 = 0. Dùng phương pháp giải phương trình bậc 4, ta tìm được các giá trị của t và sau đó tìm các giá trị của cos^2x từ đó tìm được giá trị của x.

Giải phương trình bằng cách sử dụng công thức: sin^2x = 1 - cos^2x. Thay vào phương trình: (1-cos^2x)^4 + cos^8x = (17/16)cos^2(2x). Rút gọn phương trình ta được: (1-4cos^2x+6cos^4x-4cos^6x+cos^8x) + cos^8x = (17/16)(2cos^2(2x)-1). Tiếp tục rút gọn phương trình ta được: 1 - 4cos^2x + 7cos^4x - 4cos^6x + 2cos^8x = (17/8)cos^2(2x) - (17/16). Đặt tạm t = cos^2x, ta có phương trình: 2t^4 - 4t^3 + 7t^2 - 4t + 1 = (17/8)(2t^2 - 1) - (17/16). Rút gọn phương trình ta được: 16t^4 - 32t^3 + 56t^2 - 32t + 16 = 34t^2 - 17 - 8t^2 + 8/17. Tiếp tục rút gọn phương trình ta có: 16t^4 - 32t^3 + 18t^2 - 32t + 1 = 0. Dùng phương pháp giải phương trình bậc 4, ta tìm được các giá trị của t và sau đó tìm các giá trị của cos^2x từ đó tìm được giá trị của x.