Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Tìm điểm M sao
cho vecto a\(\overrightarrow{MA}\) + b\(\overrightarrow{MB}\) + c\(\overrightarrow{MC}\) có độ dài nhỏ nhất?
Chào mọi người, mình đang bí bài này quá. Ai có thể giải thích giúp mình với ạ?
Các câu trả lời
Câu hỏi Toán học Lớp 10
Câu hỏi Lớp 10
Bạn muốn hỏi điều gì?
Để tìm điểm M sao cho \(\overrightarrow{MA}\) + b\(\overrightarrow{MB}\) + c\(\overrightarrow{MC}\) có độ dài nhỏ nhất, ta có thể sử dụng định lý Văn Obel.Định lý Văn Obel:Trong tam giác ABC, cho một điểm M bất kỳ trong mặt phẳng không nằm trên đường thẳng AB, BC hoặc AC. Khi đó, ta có:\(|\overrightarrow{MA}| + |\overrightarrow{MC}| \geqslant |\overrightarrow{MB}|\)Phương pháp giải:Đặt \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{MB}= \overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{w}\)Ta có: \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}\) (vì tâm giác là một hệ thống đa giác lồi)Áp dụng định lý Văn Obel, ta có:\(|\overrightarrow{u}| + |\overrightarrow{w}| \geqslant |\overrightarrow{v}|\)\(|\overrightarrow{v}| + |\overrightarrow{u}| \geqslant |\overrightarrow{w}|\)\(|\overrightarrow{w}| + |\overrightarrow{v}| \geqslant |\overrightarrow{u}|\)Từ đó, ta thấy rằng các độ dài đạt giá trị nhỏ nhất khi ba điểm M, A, B, C nằm trên cùng một đường thẳng.
Điểm M có độ dài của biểu thức (a+b+c)/3 nhỏ nhất. Điểm M nằm ở trọng tâm tam giác ABC.
Điểm M có độ dài của biểu thức a/2 + b/2 + c/2 nhỏ nhất. Điểm M nằm tại trọng điểm của tam giác ABC.
Điểm M có độ dài của biểu thức 2ab + 2ac + 2bc nhỏ nhất. Điểm M nằm tại trung điểm của cạnh AB.
Điểm M có độ dài của biểu thức a^2 + b^2 + c^2 nhỏ nhất. Điểm M nằm ở trọng tâm của tam giác ABC.