Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, AB<AC. Vẽ AH vuông góc với BC (H ∈ BC). Trên AH lấy điểm K sao cho H là trung điểm của AK. a) CMR: ΔACH=ΔKCH b) Gọi E là trung điểm của BC. Trên tia AE lấy điểm D sao cho E là trung điểm của AD. CMR: BD=AC=CK c) Chứng minh EH là phân giác của góc AEK VÀ DK//BC d) Gọi I là giao điểm của BD và CK, N là trung điểm của KD. Chứng minh 3 điểm E, I , N thẳng hàng
Mình biết là mọi người đều bận rộn, nhưng nếu Bạn nào có thể sắp xếp chút thời gian để hỗ trợ mình giải đáp câu hỏi này, mình sẽ rất biết ơn.

Để giải câu hỏi trên, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

a) Ta có AH là đường cao của tam giác ACH, suy ra AH là đường trung tuyến của tam giác AKH. Do đó, ta có AH = KH.

Bằng góc nhọn, ta có ∠ACH = ∠KCH. Vậy ta chứng minh được ΔACH = ΔKCH (theo trường hợp a.a) ).

b) Ta có E là trung điểm của BC, suy ra AE là đường trung tuyến của tam giác ABD.
Do đó, ta có E là trung điểm của AD.
Vậy ta có BD = 2*AE = 2*EC = AC = CK.

c) Gọi O là giao điểm của EH và AB. Ta có E là trung điểm của BC, nên OE//AC. Do đó, ta có ∠OED = ∠EAC.
Mặt khác, ta có AE = 2*ED nên ∠OED = ∠EAC = ∠EKA.
Điều này suy ra EH là đường phân giác của góc AEK.

Tiếp theo, ta có AE//DK (vì E là trung điểm của AD), nên theo định lí góc nội tiếp ta có DK//BC.

d) Ta có I là giao điểm của BD và CK, nên ta có I là trung điểm của HN (do AHIK, KINH là tứ giác đều).
Như vậy, ta có E, I, N thẳng hàng.

Vậy với phương pháp trên, ta chứng minh được toàn bộ câu hỏi trên.

d) Gọi M là trung điểm của IK. Ta có IM // AC (do I là giao điểm của BD và CK nên BD//CK nên IM // AC). Từ đó suy ra IM // AE (do AE song song với AC). Như vậy, M trùng với N (vì N là trung điểm của KD). Do đó, ta có E, I, N thẳng hàng.

c) Ta có ∠AEK bằng 90 độ (do AE là đường chéo của hình chữ nhật AEKD). Do đó, EH là phân giác của góc AEK. Và vì BD = AC = CK (đã chứng minh ở câu b) nên DK // BC.

b) Để chứng minh BD = AC = CK, ta sử dụng định lí trung tuyến: E là trung điểm của BC nên AD song song với EC. Vì E là trung điểm của AD nên BD = AC = CK (do hai tam giác có cạnh bằng nhau và hai cạnh đồng biến với nhau).

a) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC nên ∠ACH = 90 độ. Vì H là trung điểm của AK nên AH = HK, suy ra ∠KCH = ∠ACH. Do đó, ∆ACH = ∆KCH (theo góc - góc - góc).