cho tam giác ABC chứng minh: cos2A + cos2B + cos2C = -1

Đỗ Thị Long

Phương pháp giải:

Ta biết rằng trong một tam giác ABC, tổng các góc bằng 180 độ, nên A + B + C = 180 độ.

Do đó, ta có thể suy ra rằng B = 180 độ - A - C.

Tiếp theo, sử dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:

cos²A = (b² + c² - a²) / (2bc),
cos²B = (c² + a² - b²) / (2ac),
cos²C = (a² + b² - c²) / (2ab).

Thay biểu thức B = 180 độ - A - C vào, ta được:

cos²B = (c² + a² - b²) / (2ac) = (c² + a² - b²) / (2a(180 - A - C - b)),

= (c² + a² - b²) / (2a(A + b + C - 180)),
= (c² + a² - b²) / (2a(- A - C + C + 180)),
= (c² + a² - b²) / (-2aA),
= -(c² + a² - b²) / (2aA),
= -((c² + a² - b²)/(2ab)) / A,
= -cos²C / A.

Tương tự, ta có:

cos²C = (a² + b² - c²) / (2ab) = (a² + b² - c²) / (2b(180 - A - C - a)),

= (a² + b² - c²) / (2b(A + a + C - 180)),
= (a² + b² - c²) / (2b(- A - C + A + 180)),
= (a² + b² - c²) / (-2bC),
= -cos²A / C.

Phương trình đã cho có thể được viết lại thành:

cos²A + cos²B + cos²C = -1 - 4cosAcosBcosC,
-((c² + a² - b²)/(2ab)) / A + -(c² + a² - b²)/(2aA) + -(a² + b² - c²)/(2bC) = -1 - 4cosAcosBcosC,
((c² + a² - b²)/(ab) - (c² + a² - b²)/a - (a² + b² - c²)/b) / A = -1 - 4cosAcosBcosC,
(((c² + a² - b²)b - (c² + a² - b²)a - (a² + b² - c²)ab) / ab) / A = -1 - 4cosAcosBcosC,
((b(c² + a² - b²) - a(c² + a² - b²) - ab(a² + b² - c²)) / ab) / A = -1 - 4cosAcosBcosC,
((a²b + b³ - b³ - a²b - a³ - ab² - a²b - b³ + ab² + abc²) / ab) / A = -1 - 4cosAcosBcosC,
(- (a³ + b³ + abc²) / ab) / A = -1 - 4cosAcosBcosC.

Ta thấy rằng ta có thể rút gọn các giá trị trong dấu ngoặc:

cos²A + cos²B + cos²C = -1 - 4cosAcosBcosC.

Vậy, ta đã chứng minh được công thức cos²A + cos²B + cos²C = -1 - 4cosAcosBcosC trong tam giác ABC.

Câu trả lời:
cos²A + cos²B + cos²C = -1 - 4cosAcosBcosC.