Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC và K là điểm đối xứng của điểm M qua điểm I.a) Tứ giác AMCK là hình gì ?b) Tứ giác AKMB là hình gì ?c) Có trường hợp nào của tam giác ABC để tứ giác AKMB là hình thoi không ? Vì sao ?

Đỗ Hồng Huy

Để giải câu hỏi trên, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Vẽ tam giác ABC cân tại A và trung tuyến AM.

Bước 2: Gọi I là trung điểm của AC. Vẽ đoạn thẳng IM.

Bước 3: Tìm điểm đối xứng K của điểm M qua điểm I.

Bước 4a: Để trả lời câu a), ta cần xem xét các góc trong tứ giác AMCK. Vì AM và CK là đường chéo của tứ giác ACMK, nên ta có AM = CK. Do tam giác ABC cân tại A, nên ta có góc C = góc M. Vì tam giác ABC cân tại A, nên ta có góc A = góc C. Từ đó suy ra góc A = góc M = góc C = góc K. Do đó, tứ giác AMCK là tứ giác cân.

Bước 4b: Để trả lời câu b), ta xem xét các góc trong tứ giác AKMB. Vì tứ giác AMCK là tứ giác cân, nên ta có góc M = góc K. Điểm K là điểm đối xứng của điểm M qua điểm I, nên ta có góc AKM = góc AMK. Do đó, góc AKM = góc AMK = góc M = góc K. Từ đó suy ra tứ giác AKMB là tứ giác cân.

Bước 4c: Để xem xét các trường hợp để tứ giác AKMB là hình thoi, ta cần kiểm tra điều kiện tứ giác AKMB có cạnh bằng nhau hai đôi một và các đường chéo cắt nhau vuông góc tại trung điểm.

- Nếu AM = CK và AK = CM thì cạnh AB = AC và cạnh KB = KC nên ta có tứ giác AKMB là hình thoi.

Vậy câu trả lời cho câu hỏi trên là:

a) Tứ giác AMCK là tứ giác cân.
b) Tứ giác AKMB là tứ giác cân.
c) Tứ giác AKMB là hình thoi khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác cân và AM = CK.