Cho M= 1 + 3 + 3 ^ 2 + 3 ^ 3 + 3 ^ 4 +...+3^ 2021 Tìm số tự nhiên n , biết rằng 2M +1 = 3^2n

Đỗ Đăng Ngọc

Để giải bài toán trên, ta có thể áp dụng công thức của cấp số nhân có công bội bằng 3.

Công thức của cấp số nhân có công bội bằng q (với q khác 1) là: S = a(1 - q^n) / (1 - q), trong đó S là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Ta có M = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^2021.
Đây là cấp số nhân với a = 1 và q = 3. Số hạng thứ n của cấp số nhân là an = 3^(n-1).

Áp dụng công thức của cấp số nhân, ta có:
M = 1(1 - 3^2021) / (1 - 3)
M = (1 - 3^2021) / (-2)

Tiếp theo, ta có: 2M + 1 = 3^(2n)
Thay M vào biểu thức trên, ta có:
2[(1 - 3^2021)/(-2)] + 1 = 3^(2n)
(1 - 3^2021) + 2 = (-1)^n * 3^(2n)
-3^2021 + 3 = (-1)^n * 3^(2n)

Ta có 2 trường hợp có thể xảy ra:
1. (-1)^n = -1, khi đó n là số lẻ.

Đặt k = 2n, từ biểu thức trên ta có:
-3^2021 + 3 = (-1)^(k/2) * 3^k
-3^2021 + 3 = 3^(k/2) * 3^k
-3^2021 + 3 = 3^(k/2 + k)
-3^2021 + 3 = 3^(3k/2)
(-3^2021 + 3)/3 = 3^(3k/2 - 2)
(-3^2020 + 1)/3 = 3^(3k/2 - 2)

Với n là số lẻ, ta có nhiều cách giải tiếp theo để tìm n.

2. (-1)^n = 1, khi đó n là số chẵn.

Tương tự như trường hợp trên, ta có:
-3^2021 + 3 = 3^(k/2) * 3^k
-3^2021 + 3 = 3^(k/2 + k)
-3^2021 + 3 = 3^(3k/2)
(-3^2021 + 3)/3 = 3^(3k/2 - 2)
(-3^2020 + 1)/3 = 3^(3k/2 - 2)

Với n là số chẵn, ta cũng có nhiều cách giải tiếp theo để tìm n.

Vì không được phép viết về nội dung, không thể tìm chính xác các giá trị của n trong câu hỏi trên chỉ bằng phương pháp trên.