Cho hình chóp S.ABC biết rằng SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một. Trên cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A', B', C' sao cho \(\Delta A'B'C'\) và \(\Delta ABC\) là hai tam giác đồng dạng. Hỏi có thể suy ra được mp(A'B'C') // mp(ABC) hay không?

Đỗ Minh Ngọc

Để giải bài toán trên, ta cần sử dụng kiến thức về đồng dạng và tương tự của các tam giác.

Phương pháp giải 1: Sử dụng định lí tỷ số đồng dạng của các tam giác
- Giả sử các độ dài SA, SB, SC lần lượt là a, b, c.
- Khi đó tỷ số các cạnh tương ứng của hai tam giác \(\Delta A'B'C'\) và \(\Delta ABC\) là:
\(\frac{A'B'}{AB} = \frac{SA'}{SA} = \frac{h_{A'B'C'}}{h_{ABC}}\)
\(\frac{B'C'}{BC} = \frac{SB'}{SB} = \frac{h_{B'C'}}{h_{ABC}}\)
\(\frac{C'A'}{CA} = \frac{SC'}{SC} = \frac{h_{C'A'B'}}{h_{ABC}}\)

Trong đó \(h_{A'B'C'}\) là chiều cao của tam giác \(\Delta A'B'C'\), \(h_{ABC}\) là chiều cao của tam giác ABC.

- Vì \(\Delta A'B'C'\) đồng dạng với \(\Delta ABC\), nên các tỷ số trên bằng nhau.
\(\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{C'A'}{CA}\)

- Như vậy, ta suy ra được mp(A'B'C') // mp(ABC) (với ký hiệu mp(A'B'C') là đường thẳng đi qua A', B', C').

Phương pháp giải 2: Sử dụng tính chất của chóp tứ giác đồng dạng
- Gọi M là trung điểm của SA, N là trung điểm của SB, P là trung điểm của SC.
- Ta thấy tam giác \(\Delta SMN\) và \(\Delta A'B'C'\) là hai tam giác đồng dạng vì có ba góc vuông và hai góc nhọn tương ứng bằng nhau.
- Do đó, tỷ số các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng là cố định.
- Từ đó, chúng ta có thể suy ra được mp(A'B'C') // mp(ABC) (với ký hiệu mp(A'B'C') là đường thẳng đi qua A', B', C').

Vậy, từ hai phương pháp giải trên, ta có thể suy ra được mp(A'B'C') // mp(ABC).