Cho hàm số y=f(x)=x³-3x²-9x+5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x-9y+1=0

Đỗ Huỳnh Ngọc

Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)=x³-3x²-9x+5 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x-9y+1=0, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số f(x):
f'(x) = 3x² - 6x - 9

Bước 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến:
Hệ số góc của tiếp tuyến là độ dốc của đồ thị hàm số tại điểm tiếp xúc. Ta biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x-9y+1=0, nghĩa là tích của hệ số góc của tiếp tuyến và hệ số góc của đường thẳng là -1. Do đó, ta có được phương trình sau:
f'(x).(-9) = -1
3x² - 6x - 9 = -1

Bước 3: Giải phương trình trên để tìm x. Sau đó, tính f(x) để tìm tọa độ của điểm tiếp xúc.
3x² - 6x - 9 + 1 = 0
3x² - 6x - 8 = 0
x² - 2x - 8 = 0
(x-4)(x+2) = 0
x = 4 hoặc x = -2

Khi x = 4, ta có f(4) = 4³ - 3(4)² - 9(4) + 5 = 24

Khi x = -2, ta có f(-2) = (-2)³ - 3(-2)² - 9(-2) + 5 = 25

Bước 4: Tìm phương trình tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc đã tìm được:
Phương trình tiếp tuyến là y = f'(x₀)(x-x₀) + f(x₀), trong đó (x₀, f(x₀)) là tọa độ của điểm tiếp xúc.
Khi x=4: y = -9(x-4) + 24 = -9x + 60
Khi x=-2: y = -9(x+2) + 25 = -9x + 7

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)=x³-3x²-9x+5 mà vuông góc với đường thẳng x-9y+1=0 là y = -9x + 60 hoặc y = -9x + 7.